Transformação linear

Universidade Federal Rural do Semiárido-UFERSA Departamento de Ciências Exatas e Naturais Curso: Bacharelado em Ciência e Tecnologia e Computação Disciplina: Álgebra Linear
Aluno(a):

Turno:

Manhã

Tarde

Noite

Foi para entregar dia 19/10
1. Se T : V → W é uma transformação linear, mostre que: (a) Ker(T ) é um subespaço de V . (b) Im(T ) é um subespaço de W .
Solução:

(a) De fato, se T é linear, T (0) = 0, ou seja 0 ∈ Ket(T ). Agora se u, v ∈ Ker(T ), então T (u) = 0 = T (v). Agora,
T (u + v) = = = T (u) + T (v) (pela linearidade da T ) 0 + 0 (pois T (u) = 0 = T (v)) 0.

E, portanto, T (u + v) = 0 ⇒ (u + v) ∈ Ker(T ). Sejam λ ∈ R e u ∈ Ker(T ). Então, T (u) = 0. Ora,
T (λu) = = = λT (u) (pela linearidade da T ) λ0 (pois T (u) = 0) 0.

E, portanto, T (λu) = 0 ⇒ λu ∈ Ker(T ). Logo, concluímos que Ker(T ) é um subespaço vetorial de V . (b) De fato, se T é linear, T (0) = 0, ou seja existe 0 ∈ V onde T (0) = 0, assim 0 ∈ Im(T ). Sejam w1 , w2 ∈ Im(T ). Queremos mostrar que (w1 + w2 ) ∈ Im(T ). Isto é, existe v ∈ V tal que w1 + w2 = T (v). Ora, se w1 , w2 ∈ Im(T ), então existem vetores v1 , v2 ∈ V tais que w1 = T (v1 ) e w2 = T (v2 ).

Agora, somando-se membro a membro estas duas equações vetoriais, vem w1 + w2 = = = T (v1 ) + T (v2 ) T (v1 + v2 ) (pela linearidade da T ) T (v) (fazendo v = (v1 + v2 ) ∈ V ).

Isto é, existe v ∈ V tal que w1 + w2 = T (v), basta tomarmos v = v1 + v2 ∈ V e, portanto, (w1 + w2 ) ∈ Im(T ). Agora, se λ ∈ R e w ∈ Im(T ), então queremos mostrar que λw ∈ Im(T ). Isto é, existe v ∈ V tal que λw = T (v). Ora, se w ∈ Im(T ), então existe u ∈ V tal que w = T (u). Agora, multiplicando ambos os membros desta equação vetorial por λ e usando a linearidade de T , vem λw = λT (u) = T (λu) = T (v),

fazendo v = λu ∈ V . Isto é, existe v ∈ V tal que λw = T (v), basta tomarmos v = λu ∈ V e, portanto, λw ∈ Im(T ). Daí, concluímos que Im(T ) é um subespaço vetorial de W .

2. Considere a transformação linear T : R3 → R3