Problemas EDO

PONTIFÍCIA UNIVERSIDADE CATÓLICA DO RIO GRANDE DO SUL
FACULDADE DE MATEMÁTICA - DEPARTAMENTO DE MATEMÁTICA

4113E-04 Equações Diferenciais
4113U-04 Equações Diferenciais para Engenharia Química
Aplicações das Equações Diferenciais de Primeira Ordem
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A) Escrever cada um dos fatos abaixo sob a forma de uma equação diferencial.

1) Uma curva é definida pela condição de ter em todos os pontos, (x,y), a inclinação dy/dx igual ao quadrado da abscissa do ponto.

2) Uma curva é definida pela condição de ter em todos os pontos, (x,y), a inclinação dy/dx igual ao dobro da soma das coordenadas do ponto.

3) O rádio se decompõe numa taxa de variação proporcional à quantidade q, presente.

4) A população P de uma cidade aumenta numa taxa de variação proporcional à população e à diferença entre 20000 e a população.

5) Para uma certa substância, a taxa de variação da pressão do vapor (P) em relação à temperatura (T) é proporcional à pressão do vapor e inversamente proporcional ao quadrado da temperatura.

6) Massa x aceleração = força.

7) Cem gramas de açúcar de cana, em água, estão sendo transformadas em dextrose numa taxa que é proporcional à quantidade não transformada.

B) Resolver os seguintes problemas:

1) Certa substância radioativa decresce proporcionalmente à quantidade presente a cada instante. Se, para uma quantidade inicial de 100 mg, se observa uma redução de 5% após 2 anos, determine: a) uma fórmula que permite calcular a quantidade de substância existente a cada momento t; b) o tempo necessário para que haja uma redução de 10% da quantidade inicial; c) a meia - vida dessa substância.
R: a)y(t)=100(19/20)t/2 b)t=2ln0,90/ln0,95 ~4,108 anos c)t=2ln0,50/ln0,95 ~27,02

2) Uma substância radioativa tem meia vida de 10 anos. Qual era a massa inicial de substância se, ao fim de 2 anos, encontram-se 28g da substância ?
R: y(0)= 28 e1/5 ~34,2g

3) De acordo com a lei