Cálculo I

Notas de

EQUACOES DIFERENCIAIS
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E

MODELACAO
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20 ano da Licenciatura em Matem´tica a ´
Maria de Fatima da Silva Leite
´
Jose Carlos Soares Petronilho

Departamento de Matem´tica (FCTUC) a CAP´ ıTULO 1

No¸˜es b´sicas co a
Uma equa¸˜o envolvendo derivadas de uma fun¸˜o desconhecida dependente de ca ca uma ou mais vari´veis (independentes) diz-se equa¸˜o diferencial. Neste curso vamos a ca supor que esta fun¸˜o desconhecida depende de uma unica vari´vel real, e que na ca ´ a equa¸˜o figura apenas um n´mero finito de derivadas. Uma tal equa¸˜o diferencial ca u ca diz-se ordin´ria1 (abreviadamente, escreveremos EDO) e pode sempre pˆr-se na forma a o
(0.1)

F

t, y, y , y , · · · , y (n)

=0

onde y = y(t) ´ a fun¸˜o inc´gnita, t ´ a vari´vel independente, e F ´ uma fun¸˜o de e ca o e a e ca v´rias vari´veis definida de uma forma adequada. Naturalmente, na equa¸˜o (0.1) a a ca a plica representa a derivada relativamente ` vari´vel independente t. O n´mero a a u inteiro positivo n, que indica a ordem da derivada de maior ordem de todas as derivadas que figuram na equa¸˜o diferencial, ´ designado por ordem da equa¸˜o ca e ca diferencial. No caso mais geral a fun¸˜o desconhecida y pode ser interpretada como ca uma matriz de fun¸˜es escalares reais, co y = y(t) = [ yij (t) ] i=1,...,r

j=1,...,s

,

pelo que F pode ser considerada definida num subconjunto D ⊂ IRrs(n+1)+1 e a tomar valores em IRrs . Assim, em geral, o zero no segundo membro da equa¸˜o ca (0.1) pode identificar-se com a matriz nula de ordem r × s.
Por exemplo, considerando r = s = 1 (caso escalar), dy = ty + sin y dt d2 y
−3
dt2

e

d3 y dt3 2

= t2 et

s˜o equa¸˜es diferenciais ordin´rias de ordens 1 e 3, respectivamente, tendo-se a co a F (t, y, y ) := y − ty − sin y

e

F (t, y, y , y ) := (y )2 − 3(y )2 − t2 et .

Pensando num exemplo mais elaborado, para r = 2 e s = 3,
 2
  5 d y11