edoseg

Capítulo 5
Edo’s de Segunda Ordem
Neste capítulo estamos interessados em estudar equações de segunda ordem, isto é, edo’s do tipo:
F (x, y(x), y ′(x), y ′′ (x)) = 0
Achar soluções gerais de qualquer tipo de edo de segunda ordem está fora do contexto destas notas. Por exemplo, com os métodos desenvolvidos neste capítulo não poderemos achar as soluções das seguintes edo’s:
Exemplo 48.
1. A edo de Legendre de ordem α:
(1 − x2 ) y ′′ − 2 x y ′ + α (α + 1) y = 0.
2. A edo de Bessel de ordem µ ≥ 0: x2 y ′′ + x y ′ + (x2 − µ2 ) y = 0.
Nos trataremos sistematicamente apenas de duas classes de edo’s de segunda ordem: as que podem ser reduzidas a edo’s de primeira ordem e as lineares.
Isto não tão é restritivo como pode parecer, pois com estas edo’s podemos modelar uma grande quantidade de fenômenos.

5.1 Edo’s de Segunda Ordem Redutíveis
Consideremos a edo de segunda ordem: y ′′ = f (x, y, y ′).

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As soluções de alguns tipos de edo’s de segunda ordem podem ser obtidas utilizando os métodos estudados no capítulo anterior nos seguintes casos:
i) Quando f não depende de de y e y′ : y ′′ = f (x).
Integrando duas vezes a edo: y(x) =

f (x) dx + c1 dx + c2 ,

se F (x) = f (x) dx; então: y(x) =

F (x), dx + c1 x + c2 .

Exemplo 49.
Seja y ′′ = cos(2 x), a edo não depende de y e de y ′; logo:
F (x) =

cos(2 x) dx =

sen(2 x)
,
2

sen(2 x) dx + c1 x + c2 ,
2
cos(2 x) y=− dx + c1 x + c2 .
4
y=

ii) Quando f não depende de de y: y ′′ = f (x, y ′).
Fazemos p = y ′ ; então,

d dp = dx dx

dy dx = y ′′; logo, obtemos a edo:

p′ = f (x, p), que é de primeira ordem em p.

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Exemplo 50.
Seja (1 + x) y ′′ + y ′ = 0, não depende de y ; fazendo p = y ′:
(1 + x) p′ + p = 0, que é uma edo de variáveis separáveis: p′ 1
=−
, p 1+x e dx
= ln(p) + ln(1 + x) = ln(p (1 + x)),
1+x
c1 então ln(p (1 + x)) = ln(c1 ); logo, p (x + 1) = c1 obtendo y ′ =
, e: x+1 dx
+ c2 = c1 ln(x + 1) + c2 . y = c1 x+1 dp
+
p

iii) Quando f não depende de de x e de y′ : y ′′ = f (y).
Fazemos p = y ′ ; então,

d2 y