Lista 2 Calculo 1

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089109B - Calculo 1
Segunda lista de exerc´ ıcios Profa . Karina Schiabel

12 de abril de 2013

1. Demonstre, utilizando a defini¸˜o de limite, que: ca (a) lim (11x + 5) = −6. x→−1 √
√
(b) lim 8 3 = 8 3.
√
x→ 2

x2 − 100
= 20. x→10 x − 10 a (d) lim ax + b = ax0 + b, quaisquer que sejam a, b ∈ R. [ Sugest˜o: Analise separadamente os casos a = 0 e a = 0].
(c) lim

x→x0

2. Calcule, caso exista, cada um dos limites abaixo. Se n˜o existir, justifique. a (a) lim x + 2. x→1 x2 + x
.
x→2 x + 3 x2 + x lim . x→0 x
√
x−1 lim . x→1 x − 1 lim −x2 − 2x + 3. x→−1 √
√
x− 3
.
lim x→3 x−3 x2 + 3x − 1 lim . x→0 x2 + 2
(x + h)3 − x3 lim . h→0 h
|x − 1| lim . x→1+ x − 1
|x − 1| lim . x→1− x − 1
|x − 1| lim . x→1 x − 1

(b) lim
(c)
(d)
(e)
(f)
(g)
(h)
(i)
(j)
(k)

f (x) − f (1) onde f (x) = x−1 √
(m) lim x.
(l) lim+ x→1 x + 1, se x ≥ 1
2x, se x < 1

.

x→0


x, se x ≥ 2 g(x) − g(2)
.
(n) lim− onde g(x) = x2
 , se x < 2 x−2 x→2
2
g(x) − g(2)
(o) lim onde g(x) ´ a fun¸˜o do item (n). e ca x−2 x→2+ g(x) − g(2)
(p) lim onde g(x) ´ a fun¸˜o do item (n). e ca x→2 x−2
3. Mostre, usando a defini¸˜o de limite, que lim f (x) = 0 ⇔ lim |f (x)| = 0. ca x→x0

x→x0

4. Prove que lim f (x) = L ⇔ lim [f (x) − L] = 0 ⇔ lim |f (x) − L| = 0. x→x0 x→x0

x→x0

5. Demonstre o Teorema da Compara¸˜o dado em sala de aula: Sejam f e g fun¸˜es tais que f (x) ca co
|x − x0 | < r, para algum r > 0. Se lim f (x) e lim g(x) existem, ent˜o lim f (x) a lim g(x). x→x0 x→x0

x→x0

g(x) para 0 <

x→x0

6. Demonstre o Corol´rio do Teorema do Confronto dado em sala de aula: Suponha que lim f (x) = 0 e que existam a x→x0

M > 0 e r > 0 satisfazendo |g(x)|

M para 0 < |x − x0 | < r. Ent˜o lim f (x)g(x) = 0. [Sugest˜o: Use o Teorema a a x→x0 do Confronto e o Exerc´ 3.] ıcio 1

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7. Demonstre o Teorema da Conserva¸˜o do sinal dado em sala de aula.