Lista 1 De Calculo 2

UNIVERSIDADE FEDERAL DO RIO DE JANEIRO - UFRJ

1) Resolva as seguintes equações diferenciais.
a) =
b) =
c)  +  + t=0
d) 
e) =
f) (’ +  + 1 = 0 e (0)=1
g)  =  e (0)=1
h)  = 
i) ’ + 3 
j) ’ + 
k) ’ – 3 = 
l) ’ + 2 e (1)=0
m) ’ + 2 = 4 e (1)=2
n)  + 2= 
o)  – 2 = 0
p) (4+) + (9 + ) = 0
q) 3 + () = 0
r)  -  = 0
s)  - y’ = 0
t)  – (1 +) = 0 e (0)=1
u)  – ( + ) = 0
v)  + ( - ) = 0
w) ’  =  e (1)=0
x) ’ +  = 
y) ’ –  =  e (1)=2
z) ’ + 2 -  =  e (0)=1

2) Suponha que o crescimento populacional de Macaé com uma quantidade inicial de 80 mil pessoas em 1990, cresce a uma taxa proporcional a quantidade presente. A cada mês o crescimento é de 5%.
a) Determine a quantidade de pessoas em qualquer tempo t a partir de 1990.
b) Quanto tempo levará para que a população de Macaé duplique.
3) Considere um tanque contendo, inicialmente, 500 litros de salmora com 20kg de sal. Suponha que uma torneira despeje mais salmora no tanque numa taxa de 5l/min, com kg de sal por litro e que a solução bem misturada esteja saindo por um orifício o fundo do tanque na mesma taxa. Determine a quantidade de sal no tanque em qualquer instante.
4) Um determinado isótopo desintegra-se numa taxa proporcional a quantidade presente. Se 400gr deste material são reduzidos a 300gr em um mês, ache uma expressão para a quantidade deste isótopo em qualquer tempo. Calcule, também, o intervalo necessário para a massa decair à metade de seu valor original, chamado de meia vida.
5) Uma cultura de bactérias cresce a uma taxa proporcional à quantidade da substância. Ao fim e 10 minutos cresceu 3%.
a) Determine a constante de proporcionalidade.
b) Quanto tempo levará a cultura para duplicar?
6) Certa substância radioativa decresce a uma taxa proporcional à quantidade presente. Observa-se que após 1 hora houve uma redução de 10% da quantidade