LIMITES E CONTINUIDADE

LIMITES E CONTINUIDADE

1. Introdução

Vamos introduzir o conceito de limite a partir do exemplo abaixo. Consideremos inicialmente uma função simples como f(x) = 2x + 1. Essa é uma função linear (seu gráfico é uma linha reta) que passa pelo ponto 1 na intersecção com o eixo y e, para cada aumento de uma unidade em x, o valor da função aumenta 2 unidades (coeficiente de x é igual a 2). Para x = 1, y = f(x) = 3, e para x = 2, y = 5.

Fig. 1.1 – Função f(x) = 2x + 1.

O nosso objetivo, inicialmente, vai ser obter o limite do valor da função acima quando o valor de x tende a 2, ou se aproxima de 2. Essa é a idéia básica do conceito de limite, obter o valor limite de uma função quando a variável x fica cada vez mais próxima de um certo valor, não exatamente igual ao valor, mas bem próximo. Na função acima, quando x se aproxima de 2, o valor limite da função se aproxima de 5. Quando x = 1,9, o valor de f(x) = 21,9 + 1 = 4,8; quando x = 1,99, f(x) = 21,99 + 1 = 4,98; quando x = 1,999, f(x) = 4,998, que está bem próximo de 5. Naturalmente, quando x tende a 2, f(x) tende a 5. Podemos, também, aproximar de 2 a partir de valores acima de 2, como por exemplo, x = 2,01, f(x) = 22,01 + 1 = 5,02. Para x = 2,001, f(x) = 22,001 + 1 = 5,002; nesse caso, x se aproxima de 2 pela direita; no caso anterior, x se aproxima de 2 pela esquerda. Vamos representar o limite da função f(x) = 2x + 1, quando x tende a 2, do seguinte modo: . (1.1)

Vimos que esse limite é igual a 5. Usando a mesma função, vamos calcular o limite quando x → 0 (x tende a zero). Com valores bem próximos de zero, por exemplo, x = 0,001, f(x) = 20,001 + 1 = 1,002. Pode-se ver que o limite quando x → 0 é igual a 1, ou seja, é o mesmo valor da função quando x = 0, f(0) = 1. . Geralmente, para funções contínuas (a serem definidas mais adiante), o limite de uma função f(x) quando x tende a um certo valor a é igual ao valor da função no ponto x = a: . (1.2)
Aliás, essa é a