Limites e continuidade

LIMITE DE UMA FUNÇÃO

LIMITES À ESQUERDA E À DIREITA
Se a função f(x) tende ao limite b1, quando x tende ao valor a por valores inferiores a a, diz-se que b1 é o limite à esquerda de f, e escreve-se;

Se a função f(x) tende ao limite b2, quando x tende ao valor a por valores superiores a a, diz-se que b2 é o limite à direita de f, e escreve-se

Se os limites à esquerda e à direita da função f(x) existem e são iguais, isto é, se b1= b2=b, então b é o limite de f(x), quando x → a. Inversamente, se f(x) tem limite b em a, então os limites à esquerda e à direita da função são iguais a b.
Limite de f(x), x® infinito

A função f(x) tende a um limite b, quando x ® ¥, se, para todo número e>0, tão pequeno quanto se queira, pode-se indicar um número N, tal que, para todo x verificando ½x½>N, tem-se a ½f(x)-b½< e satisfeita.
Por exemplo, a função tem limite 1, para x ® ¥, isto é
De acordo com a definição, temos que mostrar ½x½>N, se

Portanto, temos que determinar N a partir de e. Vejamos.

FUNÇÃO TENDENDO AO INFINITO
Esta situação é distinta da anterior, pois examinaremos a situação da variável x tendendo a um número finito e a função f(x) tendendo ao infinito.

A função f(x) tende ao infinito quando x ® a, se, para número positivo M, tão grande quanto ele seja, pode-se encontrar um d>0, tal que, para todos os valores de x diferentes de a que verificam a condição |x-a|< d, a inequação |f(x)| >M é satisfeita.
Se f(x) tende ao infinito assumindo valores negativos ou positivos, diz-se, respectivamente, que f(x) tende a -¥, + ¥.
Exemplo

FUNÇÃO LIMITADA
Definição: A função y= f(x) é dita limitada no domínio de definição de x, se existe um número positivo M, tal que, para todos os valores de x pertencendo a este domínio, tem-se que |f(x) | £M.
Exemplo: y=f(x)= senx é limitada, pois, para -¥N, a função é limitada.
Infinitamente pequenos
Definição: Diz-se que a=a(x) é um infinitamente pequeno, quando x→a ou x→¥, se lim