Limite E Continuidade

Limite e Continuidade
Profa. Marli

Noção Intuitiva
Sucessões numéricas

Dizemos que:

1, 2, 3, 4, 5, ....

Os termos torna-se cada vez maior sem atingir um limite x  +

1 2 3 4 5
, , , , ,.....
2 3 4 5 6

Os números aproximam-se cada vez mais de 1, sem nunca atingir esse valor

x1

1, 0, -1, -2, -3, ...

Os termos torna-se cada vez menor sem atingir um limite x  -

3 5 6
1, ,3, ,5, ,7,...
2 4 7

Os termos oscilam sem tender a um limite

Limites Intuitivos
<



<

(b )

 
 
(c )

(b )

(d )

(a )



(c )





(b )


=







(d )

(d )  ( a )
(c)

>

(a )

(a ) lim f ( x) 0 x 0

(b) lim f ( x) 1 x 0

(c) lim f ( x)  x  

(d ) lim f ( x)  x  

(a ) lim f ( x) 

(a ) lim f ( x) 0

(b) lim f ( x) 

(b) lim f ( x) entre[ 1,1]

(c) lim f ( x) 0

(c) lim f ( x) 

(d ) lim f ( x) 0

(d ) lim f ( x ) entre[ 1,1]

x 0

x 0

x  

x  

x 0

x 0

x  

x  



(b )

(a ) lim f ( x) 0 x 1

(b) lim f ( x)  x  



(a )

Definição de Limites
• Seja f(x) definida em um intervalo aberto em torno de a (um número real), exceto talvez em a. c a d • Dizemos que f(x) tem limite L quando x tende a a e escrevemos

Figures 1: Um intervalo aberto de raio 3 em torno de x0 = 5 estará dentro do intervalo aberto (2, 10).
Figures 1.13: Um

lim

f ( x ) L

x a

se para todo  > 0, existe um número correspondente  > 0 , tal que
|x-a|<   |f(x)-L|< , para todos os valores de x.

Figura 1.11: Relação entre  e  na definição de limite. Propriedades dos Limites
• Se L, M, a, c são números reais e n inteiro

lim f ( x) L x a

e

lim g ( x) M , x a

• Regra da soma(subtração): lim f ( x) g ( x) lim f ( x) lim g ( x) L M x a x a x a
• Regra do Produto:

lim f ( x).g ( x) lim f ( x). lim g ( x) L.M x a

x a

x a

• Regra da multiplicação por escalar:

lim c. f ( x) c . lim f ( x) c.L x a

x a

• Regra do quociente:

f ( x) L f ( x) lim x a lim 

x a g ( x) lim g ( x) M x a

• Regra