limites e continuidade

C´lculo I - 2014/2015 a Limites e Continuidade
Ana Paula Nolasco
Departamento de Matem´tica a Universidade de Aveiro

1

Vizinhan¸a c 2

Def. 1.1
Sejam a ∈ R e ε ∈ R+ .
Chamamos vizinhan¸a-ε de a ou vizinhan¸a de centro a e raio ε c c ao conjunto
Vε (a) := {x ∈ R : |x − a| < ε} =]a − ε, a + ε[.

Exer. 1.2
Determine os conjuntos:
(a) V2 (3) ;
(b) V 1 (−2) .
3

Ponto interior, exterior e fronteiro

3

Def. 1.3
Sejam a ∈ R e S ⊂ R. a ´ ponto interior de S se existe ε > 0 tal que Vε (a) ⊂ S. e a ´ ponto exterior de S se a ´ ponto interior do e e complementar de S em R. a ´ ponto fronteiro de S se a n˜o ´ ponto interior nem ponto e a e exterior de S.
Obs. 1.4
O complementar de S em R ´ o conjunto R \ S. e Interior, exterior, fronteira e fecho

4

Def. 1.5
Interior de S: int(S)

conjunto dos pontos interiores de S

Exterior de S: ext(S)

conjunto dos pontos exteriores de S

Fronteira de S: frt(S)

conjunto dos pontos fronteiros de S

Fecho de S

¯
S = int(S) ∪ frt(S)

Exer. 1.6
¯
Indique int(S), ext(S), frt(S) e S, sendo:
(a) S = [1, 4[ ∪ {2π, 10};
(b) S = [−1, 1] ∪ {3}.

Conjunto aberto, fechado e compacto
Def. 1.7
S ´ um conjunto aberto se int(S) = S. e ¯
S ´ um conjunto fechado se S = S. e S ´ um conjunto compacto se S ´ fechado e limitado. e e
Obs. 1.8
S ⊂ R ´ limitado se existe L > 0 tal que |x| ≤ L, ∀x ∈ S. e Exer. 1.9
Verifique se S ´ fechado, aberto e/ou compacto, sendo: e (a) S = [1, 4[ ∪ {2π, 10};

(b) S = [−1, 1] ∪ {3}.

Obs. 1.10
R ´ aberto e fechado; R n˜o ´ compacto. e a e

5

Ponto de acumula¸˜o e ponto isolado ca Def. 1.11 a ∈ R ´ um ponto de acumula¸˜o de S ⊂ R se toda a e ca vizinhan¸a de a cont´m um ponto de S distinto de a, isto ´, c e e se,
∀ε > 0, (Vε (a) \ {a}) ∩ S = ∅. a ∈ S ´ um ponto isolado de S se n˜o ´ ponto de e a e acumula¸˜o de S. ca Exer. 1.12
Indique os pontos de acumula¸˜o e os pontos isolados de: ca (a) S