integral

Integral
No cálculo, a integral de uma função foi criada originalmente para determinar a área sob uma curva no plano cartesiano1 e também surge naturalmente em dezenas de problemas de Física, como por exemplo na determinação da posição em todos os instantes de um objeto, se for conhecida a sua velocidade instantânea em todos os instantes. [carece de fontes]
O processo de se calcular a integral de uma função é chamado de integração.2
Diferentemente da noção associada de derivação, existem várias definições para a integração, todas elas visando a resolver alguns problemas conceituais relacionados a limites, continuidade e existência de certos processos utilizados na definição. Estas definições diferem porque existem funções que podem ser integradas segundo alguma definição, mas não podem segundo outra.1
A integral indefinida também é conhecida como antiderivada.
Definição formal e notação
Integral definida

Integrando a área de uma função abaixo de uma curva
Seja uma função contínua definida no intervalo . A integral definida desta função é denotada como3 :
Em linguagem matemática
Em Português

é a integral da função , no intervalo entre e . é o sinal da integral, é o integrando e os pontos e são os limites (inferior e superior, respectivamente) de integração.
Onde
é uma função com domínio no espaço fechado [a,b] (com ) e com imagem no conjunto dos números reais

Integral da função sobre o intervalo . O valor da soma de Riemann truncada em sub-intervalos é indicada por .
A ideia desta notação utilizando um S comprido é generalizar a noção de somatório4 . Isto porque, intuitivamente, a integral de sobre o intervalo pode ser entendida como a soma de pequenos retângulos de base tendendo a zero e altura , onde o produto é a área deste retângulo. A soma de todas estas pequenas áreas (áreas infinitesimais), fornece a área entre a curva e o eixo das abscissas. Mais precisamente, pode-se dizer que a integral acima é o valor limite da soma:3
Em linguagem