Integrais

CÁLCULO DIFERENCIAL E INTEGRAL

Prof.: Joaquim Rodrigues

MÉTODOS DE INTEGRAÇÃO
Nem todas as integrais são imediatas segundo o formulário dado, porém alguns métodos simples ajudam a obter as primitivas das funções que não têm integração imediata.

INTEGRAÇÃO POR SUBSTITUIÇÃO
O processo consiste em substituir a variável da função integranda por outra tal que se recaia com algum artifício e facilidade numa das integrais imediatas. Não há uma regra fixa para isso. É necessário que se faça bastante exercícios até saber optar pela melhor substituição.
Seja a expressão

∫ g [ f ( x) ] ⋅ f ′( x) dx .

Através da substituição

u = f (x)

por

u ′ = f ′(x)

du = f ′( x) dx , vem:

ou

du
= f ′(x) dx ou ainda,

f ( x) f x) dx
∫ g [123] ⋅ 1′(24 = ∫ g (u ) du = h (u ) + C = h [ f ( x) ] + C ,
4 3 u admitindo que se conhece

du

∫ g (u ) du .

O método da substituição de variável exige a identificação de u e u’ ou u e du na integral dada.

QUESTÕES RESOLVIDAS
Questão 01
Calcule as integrais indefinidas:
a) ∫ ( x + 1) 3 dx
Resolução
Fazendo x + 1 = u ou u = x + 1, temos: du = 1 dx ⇒ du = dx ⇒ dx = du
( x + 1) 4 u4 ∫ ( x + 1) dx = ∫ u du = 4 + C = 4 + C
3

b)

3

1

∫ n + x dx
Resolução
Fazendo n + x = u ou u = n + x, temos: du = 1 dx ⇒ du = dx ⇒ dx = du
1
1
∫ n + x dx = ∫ u du = ln u + C = ln n + x + C

1

CÁLCULO DIFERENCIAL E INTEGRAL
c)

∫ (2 x + 3)

10

Prof.: Joaquim Rodrigues

dx

Resolução
Fazendo 2x + 3 = u ou u = 2x +3, temos:
1
du = 2 dx ⇒ 2 dx = du ⇒ dx = du
2
1 10
1 u 11
(2 x + 3)11 u 11
10
10 1
∫ (2 x + 3) dx = ∫ u 2 du = 2 ∫ u du = 2 ⋅ 11 + C = 22 + C = 22 + C

d)

dx

∫ (3x − 1)

4

Resolução
Fazendo 3x − 1= u ou u = 3x − 1, temos:
1
du = 3 dx ⇒ 3 dx = du ⇒ dx = du
3
dx
1
1 1
1 1
1 −4
1 u −3
∫ (3x − 1) 4 = ∫ (3x − 1) 4 dx = ∫ u 4 ⋅ 3 du = 3 ∫ u 4 du = 3 ∫ u du = 3 ⋅ − 3 + C =
1
1 1
1
1
= − ⋅ u −3 + C = − ⋅ 3 + C = − 3 + C = −
+C
9
9 u