Integral

Integração por partes. A ideia básica é transformar uma integral que você não pode fazer em um simples produto menos a integral que você pode fazer. Da fórmula da derivada do produto de duas funções obtemos um método de integração muito útil chamado integração por partes. Se f e g forem funções diferenciáveis, então:

Integrando ambos os membros, iremos obter:

Assim:

Esta é a fórmula de integração por partes. Para propósitos de cálculo existe uma maneira mais conveniente de escrever essa fórmula. Tomando: u = f(x) e v = g(x), então du = f´(x) dx e dv = g´(x) dx. A fórmula acima se torna:

Essa fórmula expressa a integral em termos de uma outra integral, Escolhendo adequadamente u e dv, pode ser mais fácil calcular a segunda integral do que a primeira.
Para ajudar tudo ficar certinho, organize os problemas envolvendo a integração por partes com um quadrado como da figura abaixo. Desenhe um quadrado 2 por 2 vazio, depois coloque o seu u, no canto superior esquerdo, e o seu dv, no canto inferior direito.

Assim, se observarmos as setas, o u será diferenciado e o dv será integrado. Ou seja, pensaremos na diferenciação – a coisa mais fácil – como indo para baixo, e a integração – a coisa mais difícil – como indo para cima. E assim completaremos o quadrado.

Façamos alguns exemplos. Encontre a integral de

Uma boa maneira de lembrar a fórmula da integração por partes é começar do quadrado superior esquerdo e desenhar um número 7 imaginário como segue abaixo:

Assim, pelo exemplo dado, teremos a seguinte situação:

Escolhendo o seu u. Aqui está um ótimo mnemônico para escolher o u (uma vez selecionado o u, tudo o mais é automaticamente o dv). Kasube (American Mathematical Monthy, 1983) propôs o anagrama LIATE para ajudar você a escolher o u. L  Logarítmicas (como log (x)) I  Inversas de trigonométricas (como arctan (x)) A  Algébricas (como 5x2 + 3) T  Trigonométricas (