O método dos mínimos quadrados

O método dos mínimos quadrados
O método dos mínimos quadrados escolhe a melhor reta como sendo aquela cuja soma dos quadrados dos resíduos seja a menor possível.
Resíduo é a distância entre o ponto dado e a reta calculada ao longo do eixo Y. Como para os pontos acima da reta esta distância seria positiva e para os pontos abaixo da reta a distância seria negativa, temos de tomar as distâncias ao quadrado para não sermos levados a um erro.
Sendo yi a ordenada de um ponto qualquer e (mxi+n) a ordenada da projeção deste ponto à reta calculada, ao longo do eixo Y, então yi – (mxi + n) é a distância (resíduo) deste ponto à reta calculada. Para pontos acima da reta a distância seria positiva e para pontos abaixo da reta esta distância seria negativa. Para evitarmos isto, tomamos o resíduo ao quadrado.
O próximo passo é tomarmos a soma (S) dos quadrados dos resíduos : ou Obter m e n de modo que S seja mínimo:

Derivando S em relação a m e igualando a zero:

Derivando S em relação a N e igualando a zero:

Resolvamos o seguinte sistema: x(-N) x[]

Multiplicando a primeira equação e a segunda equação pelos termos acima indicados, vem:

Somando-as, vem:

Então:

Resolvendo o sistema novamente mas agora multiplicando pelos seguintes fatores: x(-) x()
Vem:

Somando as duas equações, vem:

Então:

Finalmente a equação da reta é: y = +

Então a equação da reta acima é a melhor reta que se ajusta a um conjunto de pontos dados. Na verdade é o polinômio do primeiro grau que melhor se ajusta a um conjunto de pontos dados. Poderá ser que um polinômio de grau 2 ou genericamente, de grau n se ajuste melhor. Mas entre os polinômios do primeiro grau, a reta acima é a melhor.
Se tivermos somente dois pontos, então é intuitivo que a reta que melhor se ajuste seja aquela que passa exatamente sobre os pontos, isto é, a soma dos quadrados dos resíduos é zero.
Então seja os pontos A=(5,3) e B=(2,2). Procuremos,