Um estudo sobre a teoria dos números

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Um Estudo Sobre a Teoria dos Números
Diego Marques Mesquita Orientador: Prof. Dr. Romulo Campos Lins

Universidade Estadual Paulista "Júlio de Mesquita Filho" Rio Claro - SP

2011

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Capítulo 1 Introdução
Neste relatório venho abordar um assunto que me chamou atenção na semana de estudos da matemática no ano de 2010 na UNESP - RC, Teoria dos Números. O Prof.Dr. Pedro Luiz AparecidoMalagutti não abordou especificamente esse assunto em sua palestra "Matemágica", porém ao longo de sua apresentação a "Teoria dos Números" ficava cada vez mais explícita, e devido ao belo espetáculo proporcionado, me ocorreu o interesse de pesquisar sobre a disciplina, por motivo de curiosidade e para ter um maior aproveitamento na disciplina no ano em que eu for fazê-la. Procurei saber qual professordo Departamento de Matemática fosse mais familiarizado com o assunto em questão. Pesquisei, e cheguei à conclusão que teria um bom desenvolvimento da pesquisa se fosse orientado pelo Prof.Dr. Romulo Campos Lins, com a qual agradeço ter aceitado em ser meu orientador, com o objetivo de me fazer amadurecer matematicamente e pessoalmente. No início pensei que seria um assunto fácil de lidar, pelofato de ter me envolvido com a palavra "Números" desde criança. Porém vi o quanto a disciplina pode ser abstrata, não deixando de ser bela e fundamental para o professor tanto de ensino médio como de universidade. A Teoria dos Números é uma área da Matemática de grande interesse na Graduação. Por um lado, em seus aspectos mais elementares, ela se relaciona com muito do que é estudado de Matemáticana educação básica, o que permite comparar o tratamento da Matemática escolar com o tratamento dado na Matemática "superior". Boa parte do "espírito"da Teoria dos Números reside na solução de problemas, solução que muitas vezes depende de se perceber padrões e testar conjecturas. Irei relatar o desenvolvimento da pesquisa enunciando os aspectos fundamentais que rege a disciplina e relacionando-oscom um estudo sistemático das ideias elementares mas fundamentais da Teoria dos Números, seguindo o livro de Ivan M. Vinogradov, Elements of number theory, que expõe a teoria 2

dos números de forma bem interessante, juntamente com o livro Introdução à Teoria dos Números de José Plínio de Oliveira Santos, por ser um ótimo livro introdutório e ser em português. Como a Teoria dos números reside nasolução de problemas não foi possível estudar todo o conteúdo fornecido na disciplina, pois uma parte da iniciação científica foi focada só na resolução de problemas. Assim este relatório será estruturado da seguinte forma: Primeiro apresentarei a teoria trabalhada e logo após enunciarei os problemas.

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Capítulo 2 Teoria da Divisibilidade
2.1 Conceitos fundamentais

Como a teoria dosnúmeros se dedica ao estudo das propriedades dos números inteiros, irei citar conceitos essenciais dos inteiros: a soma, a diferença e o produto de inteiros é inteiro, já a divisão pode ser ou não. Definição 2.1.1. Caso a divisão de a por b, com a, b inteiros e b = 0, resulte em um inteiro (isto é, existe um q inteiro tal que a = bq), dizemos que b é chamado divisor de a (ou que: a é múltiplo de b, oub divide a). Notação: b | a. Se b não divide a escrevemos b a. Algumas propriedades relativas à divisibilidade: • Vale a propriedade transitiva: se m|a e a|b então m|b • Se sabemos que em uma equação da forma k + l + ... + n = p + q + ... + s, todos os termos, exceto talvez um, são múltiplos de b, então este termo também é múltiplo de b • (divisão inteira) Cada número inteiro é representado, demaneira única, em termos de b inteiro positivo, na forma a = bq + r, 0 ≤ r < b. Ex: 177 = 14.12 + 9, 0 < 9 < 14. Definição 2.1.2 (MDC). É o maior divisor comum de um conjunto de números inteiros. Notação: (a,b,c,...,z) Notemos que como a quantidade de divisores comuns é finita, é evidente que exista o maior deles, e que este seja positivo. EX: (16,24)=8 4

Definição 2.1.3. Se (a,b,c,...,z)=1...
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