série de fourier

Séries de Fourier
Cálculo III - ECT 1312
Escola de Ciências e Tecnologia
Universidade Federal do Rio Grande do Norte

Março 2012

Leonardo Mafra (ECT-UFRN)

Março 2012

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Funções Periódicas
Nosso objetivo é expressar uma função como uma série (infinita), mas não em termos de potências de x (Série de Taylor), mas como uma Série
Trigonométrica

f (x) = a0 + a1 cos(x) + b1 sin(x) + a2 cos(2x) + b2 sin(2x) + · · · .
A série acima, quando existir, é chamada de Série de Fourier.
Definição
Uma função f (x) é chamada de função periódica se existir um número real p tal que f (x + p) = f (x) para todo x no domínio de f .
São exemplos de funções periódicas as funções sin(x) e cos(x), enquanto que as funções x, x2 , x3 , exp(x) e ln(x) não são periódicas, para citar apenas algumas. Leonardo Mafra (ECT-UFRN)

Março 2012

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Funções Periódicas

Da definição acima decorre que se f tem período p então

f (x + np) = f ([x + (n − 1)p] + p) = f (x + (n − 1)p)
= f ([x + (n − 2)p] + p) = f (x + (n − 2)p) = · · · = f (x), para todo n inteiro. Note ainda que se f (x) e g(x) têm período p, e a e b são números reais então

h(x + p) = af (x + p) + bg(x + p) = af (x) + bg(x) = h(x), também tem período p. Vamos a seguir trabalhar com funções de período 2π.

Leonardo Mafra (ECT-UFRN)

Março 2012

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Ortogonalidade do Sistema Trigonométrico
As funções 1, cos(x), sin(x), cos(2x), sin(2x), · · · , cos(nx), sin(nx), · · · , constituem o chamado sistema trigonométrico. Para determinar os coeficientes da série de Fourier, quando esta existir, vamos precisar do seguinte teorema.
Teorema 1
O sistema trigonométrico é ortogonal no intervalo −π ≤ x ≤ π (ou em qualquer intervalo de comprimento 2π), ou seja, π cos(nx) cos(mx)dx = πδmn

−π π −π π sin(nx) sin(mx)dx = πδmn

sin(nx) cos(mx)dx = 0
−π

onde δmn é o símbolo de Kronecker que vale 1 se m = n e 0 do contrário.
Leonardo Mafra (ECT-UFRN)

Março 2012

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