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Cálculo Numérico 1. Determine Li ( xk ) para i =0,1,2, k =0,1,2 e n =2.
( x − x1 )( x − x2 ) ( x0 − x1 )( x0 − x2 )

Interpolação

1

Resolução:
i =0 ⇒ L0 ( x )=

k =0 ⇒ L0 ( x0 )=1 k =1 ⇒ L0 ( x1 )=0 k =2 ⇒ L0 ( x2 )=0
i =1 ⇒ L1 ( x )=

( x − x0 )( x − x2 ) ( x1 − x0 )( x1 − x2 )

k =0 ⇒ L1 ( x0 )=0 k =1 ⇒ L1 ( x1 )=1 k =2 ⇒ L1 ( x2 )=0
• i =2 ⇒ L2 ( x )=
( x − x0 )( x − x1) (x2 − x0 )( x2 − x1 )

k =0 ⇒ L2 ( x0 )=0 k =1 ⇒ L2 ( x1 )=0 k =2 ⇒ L2 ( x2 )=1

Lauro / Nunes

Cálculo Numérico 2.
i

Interpolação

2

Interpolar o ponto x =1,5 na tabela abaixo, empregando o polinômio interpolador de Lagrange. 0 −1 1
3

1 0 3

2 1 1

3 2 1

xi yi

Resolução:

n =3 é o grau máximo de P3 ( x ).
i =0 3

P3 ( x )= ∑ yi Li ( x ) ⇒ P3 ( x )=1⋅ L0 ( x )+3⋅L1 ( x )+1⋅ L2 ( x )+1⋅ L3 ( x ) Li ( x )= ∏ (x − x j ) − xj)

j = 0 ( xi j≠i

L0 ( x )=

( x − x1)( x − x2 )( x − x3 ) ( x − 0)( x − 1)( x − 2) x3 − 3x 2 + 2 x = = ( x0 − x1 )( x0 − x2 )( x0 − x3 ) ( −1 − 0 )( −1 − 1)( −1 − 2) −6 ( x − x0 )( x − x2 )( x − x3 ) ( x + 1)( x − 1)( x − 2) x3 − 2 x 2 − x + 2 = = ( x1 − x0 )( x1 − x2 )( x1 − x3 ) ( 0 + 1)( 0 − 1)( 0 − 2) 2

L1 ( x )=

( x − x0)( x − x1 )( x − x3 ) ( x + 1)( x − 0)( x − 2) x3 − x2 − 2 x L2 ( x )= = = ( x2 − x0 )( x2 − x1 )( x2 − x3 ) (1 + 1)(1 − 0)(1 − 2) −2

L3 ( x )= Logo:

( x − x0 )( x − x1 )( x − x2 ) ( x + 1)( x − 0)( x − 1) x3 − x = = ( x3 − x0 )( x3 − x1 )( x3 − x2 ) ( 2 + 1)( 2 − 0)( 2 − 1) 6

x3 − 3x 2 + 2 x x3 − 2 x 2 − x + 2 x3 − x2 − 2 x x3 − x +3⋅ + + 2 −2 6 −6 3 2 ⇒ P3 ( x )= x −2 x − x +3

P3 (x )=

P3 (1,5)= P3 ( 3 )= ( 3 )3 −2 ( 3 ) 2 − 3 +3 2 2 2 2 27 9 3 P3 (1,5)= − 2⋅ − +3 8 4 2 3 P3 (1,5)= ⇒ P3 (1,5)=0,375 8
y 3 2 1
3 8

P (x ) 3

-1

0

1

3 2

2

x

Lauro / Nunes

Cálculo Numérico 3.
i

Interpolação

3

Interpolar o ponto x =1,5 na tabela abaixo, empregando a forma de Newton. 0 −1 1 1 0 3 2 1 1 3 2 1 xi yi

Resolução:

n =3 é o grau máximo de P3( x ). Tabela de diferenças divididas:
ordem 1 ordem 2 ordem 3

x
−1

ordem 0

1
3 −1 =2 0 − ( −1) −2 −2 =−2 1 − ( −1)
1−3 =−2 1− 0

0

3

1 − ( −2) =1 2 − ( −1)
0 − ( −2 ) =1 2−0

1

1
1−1 =0 2 −1

2

1 P3 ( x )= f [ x0 ]+( x − x0 )⋅ f [ x0 , x1 ]+( x − x0 )⋅( x − x1 )⋅ f [ x0 , x1 , x2 ]+ +( x − x0 )⋅( x − x1 )⋅( x − x 2 )⋅ f [ x0 , x1 , x2 , x3 ] P3 ( x )=1+( x+1)⋅2+( x +1)⋅( x )⋅(−2)+( x +1)⋅( x )⋅( x −1)⋅(1) P3 ( x )=1+2 x +2−2 x 2 −2 x + x 3 − x P3 ( x )= x 3 −2 x 2 − x +3

Lauro / Nunes

Cálculo Numérico 4. Seja f ( x ) dada em forma de tabela de valores, como segue:

Interpolação

4

x f (x)

0,2 0,16

0,34 0,22

0,4 0,27

0,52 0,29

0,6 0,32

0,72 0,37

• a) Obter f (0,47) usando um polinômio de grau 2; • b) Dar uma estimativapara o erro. Resolução: Tabela de diferenças divididas:

x
0,2 0,34

ordem 0 0,16

ordem 1 0,4286

ordem 2

ordem 3

0,22 0,8333

2,0235 −17,8963 −3,7033 0,1667

0,4

0,27

18,2494
1,0415 −2,6031 0,2085

0,52

0,29 0,375

0,6

0,32 0,4167

0,72 0,37 Deve-se escolher 3 pontos próximos de 0,47 para a obtenção de P2 ( x ). P2 ( x )= f [ x0 ]+( x − x0 )⋅ f [ x0 , x1 ]+( x− x0 )⋅( x − x1 )⋅ f [ x0 , x1 , x2 ] P2 ( x )=0,27+( x −0,4)⋅0,1667+( x −0,4)⋅( x −0,52)⋅1,0415

P2 ( x )=1,0415 x 2 −0,79148 x +0,419952
• a) P2 (0,47)=0,278≈ f (0,47) • b) | En (0,47)|≈|(0,47−0,4)(0,47−0,52)(0,47−0,6)|⋅|18,2492| | En (0,47)|≈8,303⋅ 10 −3 .

Lauro / Nunes

Cálculo Numérico 5. Prove a igualdade seguinte. x − x1 x − x0 P ( x )= f ( x 0 )⋅ + f ( x1 )⋅ = f [ x0 ]+( x − x0 )⋅ f[ x0 , x1 ] 1 x0 − x1 x1 − x0 Resolução:

Interpolação

5

x
x0

ordem 0
f [ x0 ]= y0

ordem 1

f [ x0 , x1 ]=

y1 − y0 x1 − x0

x1

f [ x1 ]= y1



P ( x )= f [ x0 ]+( x − x0 )⋅ f [ x0 , x1 ] 1

P ( x )= f [ x0 ]+( x − x0 )⋅ f [ x0 , x1 ] 1 y − y0 ⇔ P ( x )= y0 +( x − x0 )⋅ 1 1 x1 − x0 x − x0 x − x0 ⇔ P ( x )= y0 + y1 ⋅ − y0 ⋅ 1 x1 − x0 x1 − x0 x − x0 x − x0 ⇔ P...
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