Retas

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Geometria Analítica e Álgebra Linear

6. Retas e Planos
Equações de Retas e Planos
Equações da Reta
Vamos supor que uma reta r é paralela a um vetor V = (a, b, c) não nulo e que passa por um ponto P0 = (x0, y0, z0). Um ponto P = (x, y, z) pertence a reta r se, e somente se, o




vetor P0 P é paralelo ao vetor V, isto é, se o vetor P0 P é um múltiplo escalar de V, ou seja, 

P0 P  t V

(1)

para algum real t.
De (1), vem
P  P0  t V ou P  P0  t V

(2)

Fig. 6.1

ou, em coordenadas
( x, y, z )  ( x0 , y 0 , z 0 )  t (a, b, c)

(3)

Qualquer uma das equações (1), (2) ou (3) é denominada equação vetorial de r. O vetor
V é chamado vetor diretor da reta r e t é denominado parâmetro.

Ex.: 6.1 A reta r que passa por A(1,1,4) e tem direção de V  (2,3,2) , tem equação vetorial, de acordo com (3): r : ( x, y, z )  (1,1,4)  t (2,3,2)

onde ( x, y, z ) representa um ponto qualquer de r.
Se desejarmos obter pontos de r, basta atribuir valores para t. Por exemplo, para t  1 , obtém-se r : ( x, y, z )  (1,1,4)  1(2,3,2)  (1,1,4)  (2,3,2)  (3,2,6) e, portanto,
P1 (3,2,6) r .
De forma análoga, para t  2 , obtém-se o ponto P2 (5,5,8) ; para t  3 , obtém-se o ponto P3 (7,8,10) ;
01 de fevereiro de 2010

Alex N. Brasil

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Geometria Analítica e Álgebra Linear para t  0 , obtém-se o próprio ponto A(1,1,4) e assim por diante. Se t assumir todos os valores reais, teremos todos os infinitos pontos da reta.
A figura 6.2 mostra os pontos obtidos com seus correspondentes parâmetros.

Fig. 6.2

Equações paramétricas da Reta
Da equação vetorial da reta
( x, y, z )  ( x0 , y 0 , z 0 )  t (a, b, c) ou ainda
( x, y, z )  ( x0  at , y0  bt , z0  ct ) pela condição de igualdade, obtém-se

x 

y 
z 


x0

 at

y0 z0  bt
 ct

para todo t  R

(4)

As equações são de uma reta r que passa por um ponto P0 = (x0, y0, z0) e é paralela ao vetor V = (a, b, c). As