Retas

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Trabalho Geometria Analítica
Michelli Barandim Ribeiro




Retas































Geometria analítica: Retas

Introdução
Entre os pontos de uma reta e os números reais existe uma correspondência biunívoca, isto é, a cada ponto de reta corresponde um único número real e vice-versa.
Considerando uma reta horizontal x, orientada da esquerdapara direita (eixo), e determinando um ponto O dessa reta ( origem) e um segmento u, unitário e não-nulo, temos que dois números inteiros e consecutivos determinam sempre nesse eixo um segmento de reta de comprimento u:
[pic]
Medida algébrica de um segmento
Fazendo corresponder a dois pontos, A e B, do eixo x os números reais xA e xB , temos:
[pic]
[pic]
A medida algébrica de um segmentoorientado é o número real que corresponde à diferença entre as abscissas da extremidade e da origem desse segmento.
Plano cartesiano
A geometria analítica teve como principal idealizador o filósofo francês René Descartes ( 1596-1650). Com o auxílio de um sistema de eixos associados a um plano, ele faz corresponder a cada ponto do plano um par ordenado e vice-versa.
Quando os eixos desse sistemas sãoperpendiculares na origem, essa correspondência determina um sistema cartesiano ortogonal ( ou plano cartesiano). Assim, há uma reciprocidade entre o estudo da geometria ( ponto, reta, circunferência) e da Álgebra ( relações, equações etc.), podendo-se representar graficamente relações algébricas e expressar algebricamente representações gráficas.
Observe o plano cartesiano nos quadrosquadrantes:















Exemplos:
* A(2, 4) pertence ao 1º quadrante (xA > 0 e yA > 0)
* B(-3, -5) pertence ao 3º quadrante ( xB < 0 e yB < 0)
Observação: Por convenção, os pontos localizados sobre os eixos não estão em nenhum quadrante.

Distância entre dois pontos
Dados os pontos A(xA, yA) e B(xB, yB) e sendo dAB a distância entre eles, temos:
|[pic]|[pic] |


Aplicando o teorema de Pitágoras ao triângulo retângulo ABC, vem:
[pic]
Como exemplo, vamos determinar a distância entre os pontos A(1, -1) e B(4, -5):
[pic]
[pic]

Razão de secção
Dados os pontos A(xA, yA), B(xB, yB), C(xC, yC) de uma mesma reta [pic], o ponto C divide [pic]numadeterminada razão, denominada razão de secção e indicada por:
|[pic] |


em que [pic], pois se [pic], então A = B.
Observe a representação a seguir:
[pic]

Como o [pic], podemos escrever:
[pic]
Vejamos alguns exemplos:
* Considerando os pontos A(2, 3), B(5, 6) e P(3, 4), a razão em que o ponto P divide [pic]é:
|[pic]|[pic] |


Se calculássemos rp usando as ordenadas dos pontos, obteríamos o mesmo resultado:
[pic]
* Para os pontos A(2, 3), B(5, 6) e P(1, 2), temos:
|[pic] |[pic] |


Assim, para um ponto P qualquer emrelação a um segmento orientado [pic]contido em um eixo, temos:
* se P é interior a [pic], então rp > 0
* se P é exterior a [pic], então rp < 0
* se P = A, então rp =0 [pic]
* se P = B, então não existe rp (PB = 0)
* se P é o ponto médio de [pic], então rp =1 [pic]



Ponto médio
Dados os pontos A(xA, yA), B(xB, yB) e P, que divide [pic]ao meio, temos:
|[pic]|[pic] |


Assim:
[pic]
[pic]
Logo, as coordenadas do ponto médio são dadas por:
[pic]
Baricentro de um triângulo
Observe o triângulo da figura a seguir, em que M, N e P são os pontos médios dos lados [pic], respectivamente. Portanto, [pic]são as medianas desse triângulo:
[pic]...
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