Raio da terra

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3.APLICAÇÕES

DA

TRIGONOMETRIA

A Trigonometria relaciona ângulos com segmentos, por isso é muito eficiente como instrumento de cálculo na geometria, permitindo medir comprimentos inacessíveis às medidas diretas. As aplicações da trigonometria no cálculo de medidas inacessíveis já eram feitas na antigüidade, séculos antes de Cristo, como veremos nos três exemplos a seguir.

I.

A

Grécia

e

o

Cálculo

do

Raio

da

Terra

Os gregos usaram o seguinte método para medir o raio da Terra : Sobe-se em uma torre de altura h e mede-se o ângulo θ que faz a reta BC do horizonte de B com a vertical BO do lugar. Sendo R o raio da terra temos (figura 3) :
R = senθ ; Logo, R+h R = h senθ 1- senθ

Portanto, se tivermos as medidas de h e θ que são acessíveis podemos calcular o raio R da Terra.

Figura 3

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II. Eratóstenes e o Cálculo da da Terra

Circunferência e do Raio

Eratóstenes (277-196 A.C.) era Bibliotecário-Chefe do Museu de Alexandria, e foi nos livros que tomou conhecimento do seguinte fenômeno: Quando o sol se encontrava mais ao norte, os raios solares caiam verticalmente, ao meio dia, na localidade de Siena, a 800 km de Alexandria (isto era sabido porque a imagem do sol podia ser vista refletida nos poços mais fundos desta cidade. Naquela mesma hora, em Alexandria, os raios caiam

inclinadamente, fazendo um ângulo de aproximadamente 7,2 0 com a vertical, ou seja, 1/50 da circunferência completa, que corresponde ao ângulo de 360 0 ( esse ângulo era medido através da comparação da sombra de um obelisco, por exemplo, com a sua altura)

(Figuras 4 e 5)

Norte A C S raios solares A = Alexandria S = Siena obelisco raios solares

Figura 4

sombra Figura 5

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$ Como os raios solares são praticamente paralelos entre si, então o ângulo central AC S

também mede 7,2o. Pela proporcionalidade entre arcos e ângulos, temos:
2πR 360 , = AS 7 ,2

onde R é o raio da Terra. Como a distância de Alexandria a Siena é