Numeros naturais

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N´meros naturais e cardinalidade u
Roberto Imbuzeiro M. F. de Oliveira∗ 5 de Janeiro de 2008

Resumo

1

Axiomas de Peano e o princ´ ıpio da indu¸˜o ca

Intuitivamente, o conjunto N dos n´meros naturais corresponde aos n´meros u u 1, 2, 3, . . . . Os chamados axiomas de Peano descrevem as propriedades fundamentais destes n´meros em termos abstratos, atrav´s de trˆs propriedades u e eintuitivas b´sicas. a 1. Existˆncia de sucessor: todo elemento n ∈ N tem um sucessor, chamado e provisoriamente de s(n). Dois elementos distintos de N tˆm sucessores e tamb´m distintos. [Isto implica que a fun¸˜o s : N → N que leva cada e ca natural em seu sucessor ´ injetiva.] e 2. Existˆncia de um primeiro elemento. Existe um elemento de N, chamado e de 1, tal que 1 = s(n) para todo n ∈ N (isto ´,1 n˜o ´ o sucessor de e a e n´mero algum em N). u 3. Princ´ ıpio da indu¸˜o: seja X ⊂ N um subconjunto tal que 1 ∈ X e ca s(n) ∈ X para todo n ∈ X. Ent˜o X = N. a O ultimo axioma ´ o de mais dif´ compreens˜o. Um exemplo do seu ´ e ıcil a uso ´ dado logo a seguir. e Teorema 1. Para todo n ∈ N, s(n) = n.


IMPA, Rio de Janeiro, RJ, Brazil, 22430-040. rimfo@impa.br

1

Prova: Seja X = {n ∈ N: s(n) = n}. Veja que X ´ um subconjunto de N. Provaremos que X = N usando o e axioma 3. 1. 1 ∈ X, j´ que, pelo segundo axioma, 1 = s(1). a 2. Se n ∈ X, ent˜o s(n) = n. Como s ´ injetiva, para todos x, y ∈ N com a e x = y tem-se s(x) = s(y). Em particular, para n ∈ X como acima, vˆ-se que s(s(n)) = s(n) (tome x = s(n), y = n). Donde conclu´ e ımos que s(n) ∈ X. Portanto, s(n) ∈ X para qualquer n∈ X. 2

2

Soma, produto e ordem

Agora mostramos como as opera¸˜es b´sicas sobre os naturais podem ser co a definidas a partir dos axiomas. Come¸amos com a adi¸˜o. Ela ´ uma c ca e opera¸˜o que leva um par de n´meros na sua soma, portanto ´ uma fun¸˜o ca u e ca de N × N em N: soma : N × N → N. Fato 1. Existe uma unica fun¸˜o soma como acima tal que para todo p ∈ N: ´ ca • soma(p, 1) = s(p); e• seja n ∈ N. Ent˜o soma(p, s(n)) = s(soma(p, n)). a Fato 2. Existe uma unica fun¸˜o prod : N × N → N tal que para todo p ∈ N: ´ ca • prod(p, 1) = p; e • Seja n ∈ N. Ent˜o prod(p, s(n)) = soma(prod(p, n), p). a Em geral escreveremos p + n no lugar de soma(p, n) e pn ou p.n no lugar de prod(p, n). Os seguintes fatos s˜o essenciais. a Teorema 2 (Associatividade da soma). Para todos p, q, r ∈ N,soma(soma(p, q), r) = soma(p, soma(q, r)). Ou seja, (p + q) + r = p + (q + r).

2

Prova: Fixe p, q ∈ N. Mostraremos que o conjunto X = Xp,q ≡ {r ∈ N : (p + q) + r = p + (q + r)} ´ igual a N. Como p, q s˜o arbitr´rios, isto prova o teorema. e a a Note primeiro que 1 ∈ X, j´ que, usando as duas propriedades da soma a (a primeira, a segunda e a primeira nesta ordem): soma(soma(p, q), 1) = s(soma(p,q)) = soma(p, s(q)) = soma(p, soma(q, 1)). Provaremos agora que n ∈ X implica que s(n) ∈ X; deste modo, X = N seguir´ por indu¸˜o. Veja que se n ∈ X, ent˜o a ca a soma(soma(p, q), n) = soma(p, soma(q, n)). Tomando o sucessor dos dois lados da igualdade, s(soma(soma(p, q), n)) = s(soma(p, soma(q, n))). (1)

Note agora que, pela segunda propriedade da soma, o lado esquerdo de (1) ´ igual a esoma(soma(p, q), s(n)), enquanto o lado direito ´ igual a e soma(p, s(soma(q, n))) = soma(p, soma(q, s(n))) onde a igualdade decorre da prop. 2 da soma usada mais uma vez. Segue que: soma(soma(p, q), s(n)) = soma(p, soma(q, s(n))), logo s(n) ∈ X, como desejado. 2

Teorema 3 (Comutatividade da soma). Para todos m, n ∈ N, m + n = n + m. Prova: Fixe um n ∈ N e defina o conjunto dos elementos de N quecomutam com n. Cn ≡ {m ∈ N : m + n = n + m}. Nosso objetivo ´ provar que Cn = N para todo n ∈ N. e Primeiro provaremos que 1 ∈ Cn para todo n, o que equivale a provar que C1 = N. Para isso, usaremos indu¸˜o. Veja que 1 ∈ C1 trivialmente, j´ ca a que 1 + 1 = 1 + 1. 3

Seja agora n ∈ C1 ; provaremos que s(n) ∈ C1 (donde seguir´ C1 = N). a Veja que 1 + n = n + 1 (pois n ∈ C1 ), logo s(1 + n) =...
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