Método de Lagrange para Interpolação

Método de Lagrange para Interpolação

A interpolação consiste em determinar uma função que assume valores conhecidos, pontos chamados de “nós de interpolação”. Para que, conhecendo a função, seja possível identificar outros pontos.
O método de Lagrange é dado da seguinte forma:
Suponha que se deseja determinar o polinômio de grau ‘n’ que passa por (‘n’+1) pontos conhecidos.

Ou seja,

O método de Lagrange diz que o polinômio de ‘n’ grau que interpola ‘n+1’ pontos é dado pela soma do produto do polinômio de Lagrange () e a função (imagem, y) do respectivo x. Isso significa que para cada ponto dado, sendo Pn (xn,yn), deve-se encontrar seu respectivo , este é dado por:

Ou seja, é o produtório da diferença entre um x (novo) e outro x ( xk conhecido), dividido pela diferença de x (xi, que é o ponto correspondente) pelo mesmo x subtraído no numerador (xi deverá ser sempre diferente de xk, para que não haja indeterminação ou que seja uma solução impossível). Veja o caso de 4 pontos aleatórios. Para encontrar a função que os interpola, a fórmula de Lagrange ficaria da seguinte forma:

Sendo de grau n=3:
Através do método de Lagrange é possível fazer a interpolação de muitos pontos. Gerando assim, polinômios de grau muito altos, por exemplo, dado 100 pontos, a função que interpola todos os pontos terá grau 99. Para que o cálculo não apresente polinômios de grau muito alto e seja muito trabalhoso, pode-se adotar os pontos conhecidos mais próximos do ponto que se quer determinar, em alguns casos essa opção poderá até tornar o cálculo mais preciso.

Exemplo numérico
Obter a função que interpola os 3 pontos: i x f(x) 1
0
2
2
1
4
3
3
5

Sabendo que para 3 pontos, n=2, tem-se = = =

Portanto: