Resumo de Interpolacao Polinomial

Resumo do Capítulo 03 – Interpolação polinomial
O conceito de interpolação é bastante utilizado na obtenção de valores intermediários em tabelas, como dados experimentais, tabelas estatísticas, funções complexas, entre outros. Neste capítulo são apresentados alguns métodos numéricos para ajudar na resolução destes problemas.
3.1 Polinômios interpoladores
Observemos a tabela 3.1 a seguir.

O problema consiste em encontrar um valor de y que seja correspondente a um dado x não pertencente à tabela. Para isso, é preciso obter uma função que relaciona as variáveis x e y. Neste caso é construído um polinômio para aproximar a função, e polinômios com este intuito são denominados de polinômio interpolador. Basta avaliar o polinômio obtido no ponto desejado para resolver o problema dado.
O esquema mais simples para construir um polinômio interpolador a partir de pares (x, y), é a solução de um sistema de equações lineares.
3.1.1 Interpolação linear
Sejam dois pontos-base e , com , de uma função . Para obter uma aproximação de , faz-se

Onde é um polinômio interpolador de grau 1. Impondo que este polinômio passe pelos dois pontos-base, obtêm-se esse sistema de equações lineares de ordem 2

Transformando este sistema linear em um sistema triangular equivalente, obtém-se

cuja solução é

Assim, o polinômio interpolador torna-se

e passa pelos dois pontos-base.
Quanto mais próximo o valor a ser interpolado for de um ponto-base, melhor o resultado obtido pela interpolação. Esse resultado pode ser melhorado pelo aumento do grau interpolador.
3.1.2 Interpolação Quadrática
Dados três pontos-base com distintos, de uma função . Para aproximar faz-se:

Onde é um polinômio interpolador de grau 2. Impondo que o polinômio interpolador passe pelos 3 pontos-base, obtêm-se o sistema linear de ordem 3

Esse sistema de equações lineares admite uma única solução pois . Assim, por 3 pontos passa um único polinômio de grau 2. Generalizando, por n+1 pontos passa um único polinômio de