Movimento relativo

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MOVIMENTO RELATIVO
• O movimento é um conceito relativo cuja descrição depende de um referencial específico escolhido pelo observador. • Diferentes observadores usando sistemas referenciais diferentes obtém diferentes descrições de um mesmo movimento. • Como relacionar estes resultados distintos de um mesmo movimento ? • É esse o objectivo do estudo do movimento relativo. • Um referencial éescolhido de modo a facilitar a descrição do movimento do objecto que se pretende estudar. Exemplos: • movimentos na Terra : referenciais ligados à Terra • astronomia : referenciais em estrelas que se podem considerar imóveis (“estrelas fixas”) • física atómica : referencial no núcleo atómico (os electrões são muito mais leves que o núcleo podendo-se considerar que a posição nuclear é fixarelativamente aos electrões) • Não existe um referencial absoluto. Velocidade Relativa
Trajectórias de B em relação a O Z

Velocidades de A e B medidas pelo observador O

vA =

drA dt

vB =

drB dt

vA A rBA vB B vBA rA -vA rB Y

Trajectórias de B em relação a A

Vector posição de B relativamente a A

rBA = AB = rB − r A
Vector posição de A relativamente a B
r AB = − rBA

O X

rAB = BA = rA − rB

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Velocidade de B em relação a A: v BA = Velocidade de A em relação a B:

drBA dt drAB dt

v BA = −v AB

v AB =

drBA drB drA = − ⇔ v BA = v BO − v A O = v B − v A dt dt dt

Velocidades de B e A relativas a O (por vezes omite-se o índice O)

drAB drA drB = − ⇔ v AB = v A O − v B O = v A − v B dt dt dt

Aceleração Relativa
Aceleração de B em relação a A: aBA = dv BA dt

a BA = −a AB

dv AB Aceleração de A em relação a B: a AB = dt

dv BA dv B dv A = − ⇔ a BA = a B − a A dt dt dt
aA e aB são as Acelerações de B e A relativas a O

dv AB dv A dv B = − ⇔ a AB = a A − a B dt dt dt

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Exemplo: Considere dois aviões A e B deslocam-se, num dado instante, com as velocidades indicadas na figura seguinte.
Y
-1

vA = 300kmh A

-1

vB =400kmh 60º B

30º

X

Calcule a velocidade do avião B relativamente ao A e a velocidade do avião A relativamente ao B.
v A = 300 cos(30 ) i + 300 sen(30 ) j = 259.8 i + 150 j
^ ^ ^ ^ ^ ^ ^ ^

v B = −400 cos(60 ) i + 400 sen(60 ) j = − 200 i + 346.4 j
^ ^

v BA = v B − v A = −459.8 i + 196.4 j v BA = 459.8 2 + 196.4 2 = 500kmh −1 Cos(θ X ) = −459.8 / 500 ⇒ θ X = ±157 º v AB = − v BA =459.8 i − 196.4 j
^ ^

v AB = 459.8 2 + 196.4 2 = 500kmh −1 Cos(θ X ) = +459.8 / 500 ⇒ θ X = ±23º

Y vB vA A 30º -23º vAB -vB -vA X B 60º 157º

vBA

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Movimento Relativo De Translacção
Seja O´x´y´z´ um referêncial móvel com velocidade vTr em relação ao referencial fixo Oxyz v ≡ v A / O é a velocidade absoluta = v obj./ref.fixo v´ ≡ v A / O´ é a velocidade relativa = v obj./ref.m óvel vTr ≡ v O´/ O é a velocidade de transporte = v ref.móvel/ ref.fixo tem-se

v = v´ + v Tr ⇔ v obj. / ref .fixo = v obj. / ref .móvel + v ref .móvel / ref .fixo ou v´ = v − v Tr ⇔ v obj. / ref .móvel = v obj. / ref .fixo − v ref .móvel / ref .fixo • Acelerações a = a´ + a Tr ⇔ aobj. / ref .fixo = aobj. / ref .móvel + aref .móvel / ref .fixo ou a´ = a − a Tr ⇔ aobj. / ref .móvel = aobj. / ref .fixo− aref .móvel / ref .fixo Se a velocidade de transporte fôr constante aTr = 0 e logo
A aceleração é invariante em todos os referenciais animados de movimento relativo de translacção uniforme

Referenciais inerciais

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• Componentes normal e tangencial da aceleração como a aceleração está dirigida para a concavidade da trajectória pode-se decompô-la em duas componentes, uma tangencial(aT) e outra normal (aN) à trajectória
aT a aN

aT descreve a variação do módulo da velocidade aN descreve a variação da direcção da velocidade

Considerando o versor da tangente à trajectória (ûT) tem-se:
d vûT dû T dv dv = = ûT + v dt dt dt dt
Variação da direcção da velocidade

a =

(

)

Variação do módulo da velocidade

Qual o valor de
C dφ

dû T dt

?


ds é o arco...
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