modelo de poisson

MODELO de POISSON
(Siméon Denis Poisson - 21/06/1781 a 25/04/1840)

FUNDAMENTOS TEÓRICOS:

Considere um experimento composto pelos seguintes “ingredientes”:
a) Um evento “A”;
b) Uma variável aleatória “X” que representa o número de vezes que o evento “A” ocorreu;
c) Um intervalo definido sobre uma variável contínua “T”, no qual foi medida a variável aleatória “X”.
Em resumo, o experimento consiste num processo onde uma variável aleatória discreta (X) está indexada a uma variável contínua (T).
A ilustração dada a seguir é uma abstração do processo antes mencionado.

Na ilustração acima, t1 e t2 representam fatias infinitesimais da variável T, de modo que, à medida que t vai tendendo a zero (t→0) só é possível haver no máximo uma medida da variável X. Como conseqüência imediata da imposição anterior (X≤1 quando t→0), fica improvável que o evento “A” ocorra duas ou mais vezes para pequenas extensões do tipo t→0. Matematicamente, podemos resumir as considerações anteriores em três axiomas, para que possamos especificar o modelo de Poisson.

1. A probabilidade de K ocorrências é proporcional a extensão considerada da variável T, permitindo escrevê-la como P[X=K]∝t. O símbolo ∝ representa proporcionalidade direta, indicando que a probabilidade varia na mesma proporção que a extensão t. Para trocar o símbolo de proporcionalidade por um sinal de igualdade, deve-se introduzir uma constante de proporcionalidade como fator multiplicativo de t. Feito isto, obtém-se: P[X=K] = .t

2. Pode-se estabelecer t tão pequeno quanto se queira, validando as três relações dadas a seguir:
P[X=1/t→0]=.t;
P[X>1/t→0]=0;
P[X=0/t→0]=1 – t;

3. As ocorrências da variável aleatória X se dão de maneira independente em qualquer extensão t da variável T. Isto é, o axioma 2 ocorre em qualquer t⊂T.

Uma análise dos axiomas anteriores revela uma profunda semelhança entre os modelos Binomial e Poisson. Comparemos.

BINOMIAL
POISSON