Minimos quadrados

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Notas de aula de Métodos Numéricos. c Departamento de Computação/ICEB/UFOP.

Ajuste de Curvas pelo Método dos Quadrados Mínimos
Marcone Jamilson Freitas Souza, Departamento de Computação, Instituto de Ciências Exatas e Biológicas, Universidade Federal de Ouro Preto, 35400-000 Ouro Preto, MG, Brasil. Homepage: http://www.decom.ufop.br/prof/marcone, E-mail: marcone@iceb.ufop.br

1 IntroduçãoEm muitas situações, conhece-se uma tabela de pontos (xi , yi ), onde cada yi é obtido experimentalmente, e deseja-se obter a expressão analítica de uma dada curva y = f (x) que melhor se ajusta a esse conjunto de pontos. Por exemplo, sabe-se que o número y de bactérias, por unidade de volume, existente em uma cultura após um determinado número x de horas, cresce exponencialmente com o aumento dex. Neste caso, o número de bactérias cresce com o decorrer das horas na forma y = αeβx . O problema consiste, então, em determinar os valores mais apropriados dos parâmetros α e β desta exponencial.

2 Ajuste a uma reta
Mostremos, inicialmente, como ajustar um conjunto de pontos a uma reta y = a + bx, onde a e b são parâmetros a serem determinados. Neste caso, estamos interessados em minimizara distância de cada ponto (xi , yi ) da tabela à cada ponto (xi , a + bxi ) da reta, conforme ilustra a gura 1.

Figura 1: Distância de um ponto (xi , yi ) à reta y = a + bx é: A distância entre esses pontos é |yi − a − bxi | e a soma dos quadrados dessas distâncias

2

Marcone Jamilson Freitas Souza

n

q=
i=1

(yi − a − bxi )2

(2.1)

Os candidatos a ponto de mínimo da função2.1 são aqueles para os quais são nulos as derivadas parciais de q em relação a cada um de seus parâmetros, isto é:

∂q = −2 (yi − a − bxi ) = 0 ∂a i=1 ∂q = −2 xi (yi − a − bxi ) = 0 ∂b i=1
Tendo em vista que:
n i=1 n i=1 n i=1 n i=1 n i=1 n i=1 n i=1 n

n

(2.2)

(2.3)

(yi − a − bxi )

= =

yi −

a−

bxi xi b
n i=1

yi − na −
n

e que:

n

obtemos o seguinte sistemade equações, denominado equações normais do problema, cujas incógnitas são os parâmetros a e b da equação y = a + bx:

i=1

xi (yi − a − bxi )

=

i=1

xi yi −

xi a −

x2 b i

      
n i=1

na + xi a +

n i=1 n i=1

xi b x2 b i

= =

n i=1 n i=1

yi xi yi

(2.4)

Exemplo 1: Dada a tabela de pontos (xi , yi ) a seguir, determine pelo Método dos QuadradosMínimos a equação da reta que melhor se ajusta a esses pontos.

xi yi
Solução: Como são n = 4 pontos,
n i=1

-1.0 1.000

-0.1 1.099

0.2 0.808

1.0 1.000

xi = 0.1,

n i=1

x2 = 2.05, i

n i=1

yi = 3.907 e

n i=1

xi yi = 0.0517,

as equações normais do problema são, de acordo com 2.4:

4a 0.1a

+ 0.10b = 3.9070 + 2.05b = 0.0517

A solução deste sistema é a =0.9773 e b = −0.0224. Assim, a reta que melhor se ajusta à tabela de pontos dada é:

y = 0.9773 − 0.0224x

Quadrados Mínimos

3

3 Ajuste a uma exponencial
Mostremos, agora, como ajustar um conjunto de pontos (xi , yi ) a uma exponencial do tipo y = αebx . Esta função exponencial pode ser ajustada através da seguinte transformação: ln y = ln αebx = ln α + bx. Fazendo Y = ln y e a = ln α,reduzimos o problema de ajustar a tabela de pontos (xi , yi ) referente a uma exponencial ao problema de ajustar a tabela de pontos (xi , Yi ), onde Yi = ln yi , à equação de uma reta Y = a + bx. Exemplo 2: Suponhamos que em um laboratório obtivemos experimentalmente os seguintes valores para f (xi ) sobre os pontos xi :

xi yi

-1.0 36.547

-0.7 17.264

-0.4 8.155

-0.1 3.852

0.2 1.8200.5 0.860

0.8 0.406

1.0 0.246

Solução: Fazendo o diagrama de dispersão dos dados acima, verica-se que um ajuste do tipo y = αebx é o mais indicado. Efetuando-se as transformações Y = ln yi , obtemos a tabela (xi , ln yi ) a seguir:

xi ln yi

-1.0 3.599

-0.7 2.849
n i=1

-0.4 2.099
n

-0.1 1.349

0.2 0.599
n i=1

0.5 -0.151

0.8 -0.901
n i=1

1.0 -1.402...
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