Minimos quadrados

Mínimos Quadrados

A interpolação manuseia uma função que é definida por uma tabela de valores. Se a tabela é resultado de algum experimento físico, os valores da tabela podem conter erros inerentes que usualmente não são previsíveis, com nenhum grau de certeza; o que equivale a dizer que os erros inerentes são distribuídos de acordo com algum padrão estatístico, e há uma razoável probabilidade de que alguns deles sejam bastante grandes.

Suponha que tenhamos uma fórmula relacionando y a x, isto é:

[pic][pic]

onde a barra indica que este é um valor aproximado de y. O verdadeiro valor de y é encontrado na tabela.

*

*

Tabela 1

podemos estimar que os dois pontos com (*). Têm um erro substancial em seus valores y pois não seguem o padrão dos demais pontos.

A interpolação, portanto, produziria resultados que também teriam erros substanciais. Antes de podermos usar tais dados devemos ”suavisa-los” para anular os erros estatísticos tanto quanto possível. Isto pode acontecer, também, no caso de extrapolação (particularmente para dados econômicos). Por estas considerações, procuramos um método para, usando os dados de uma tabela de dados experimentais , produzir uma fórmula que relacione y e x.

Questão:

1. Como decidir se uma curva “ajusta-se” bem aos pontos?

Suponhamos que: [pic][pic]

Definimos o desvio (erro) como sendo o valor verdadeiro menos o valor aproximado (ou vice-versa), isto é, [pic].

Como y é, realmente, conhecido apenas nos valores tabelados, então o desvio é conhecido para aqueles valores. Supondo que haja “m” valores na tabela, temos:

[pic]

Equações 1

Neste estágio por não sabermos como especificar a função [pic], não podemos calcular [pic], nosso objetivo passa a ser encontrar alguma maneira de