Minimos quadrados

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Mínimos Quadrados

A interpolação manuseia uma função que é definida por uma tabela de valores. Se a tabela é resultado de algum experimento físico, os valores da tabela podem conter erros inerentes que usualmente não são previsíveis, com nenhum grau de certeza; o que equivale a dizer que os erros inerentes são distribuídos de acordo com algum padrão estatístico, e há uma razoávelprobabilidade de que alguns deles sejam bastante grandes.


Suponha que tenhamos uma fórmula relacionando y a x, isto é:


[pic][pic]


onde a barra indica que este é um valor aproximado de y. O verdadeiro valor de y é encontrado na tabela.



*

*









Tabela 1



podemos estimar que osdois pontos com (*). Têm um erro substancial em seus valores y pois não seguem o padrão dos demais pontos.


A interpolação, portanto, produziria resultados que também teriam erros substanciais. Antes de podermos usar tais dados devemos ”suavisa-los” para anular os erros estatísticos tanto quanto possível. Isto pode acontecer, também, no caso de extrapolação (particularmente para dadoseconômicos). Por estas considerações, procuramos um método para, usando os dados de uma tabela de dados experimentais , produzir uma fórmula que relacione y e x.


Questão:


1. Como decidir se uma curva “ajusta-se” bem aos pontos?


Suponhamos que:
[pic][pic]


Definimos o desvio (erro) como sendo o valor verdadeiro menos o valor aproximado (ou vice-versa), isto é, [pic].Como y é, realmente, conhecido apenas nos valores tabelados, então o desvio é conhecido para aqueles valores. Supondo que haja “m” valores na tabela, temos:



[pic]


Equações 1

Neste estágio por não sabermos como especificar a função [pic], não podemos calcular [pic], nosso objetivo passa a ser encontrar alguma maneira deespecificar esta função.


Precisamos especificar a “forma” de [pic] antecipadamente a partir de alguma observação.


No exemplo anterior, seria natural admitir que [pic] fosse uma parábola. Restando determinar qual. E uma vez determinada qual a função [pic], então os desvios são facilmente calculados.


Desejamos escolher [pic] de modo que os desvios sejam pequenos, ou seja,procuramos fazer a soma dos desvios pequena; isto é:
[pic] seja o mínimo

Equação 2

Supondo que tenhamos apenas dois pontos (m=2), com coordenadas [pic], se pensarmos em [pic] como uma reta [pic], então a “melhor” reta será a que passe pelos dois pontos, pois para esta reta o somatório dos desvios será zero.


Entretanto, para alinha L, a soma dos desvios também é zero (infinitas linhas L).

[pic]
L
[pic]

[pic] [pic]


[pic]


[pic]




Visto serem os sinais que estão causando o problema, o passo mais lógico é minimizar a soma dos valores absolutos dos desvios.

[pic]


Equação 3

Estemétodo produz resultados úteis, porém é um difícil problema numérico, em parte porque a derivada da função valor absoluto, não existe na origem.


No entanto existem alguns algoritmos para minimizar o problema.

1 O princípio dos mínimos quadrados

Para superarmos a dificuldade de sinais opostos, tentamos minimizar a soma dos quadrados dos desvios.[pic]


Equação 4

Isto produzirá resultados diferentes dos de qualquer dos métodos anteriores. Do ponto de vista prático, é manuseado muito mais facilmente.


Supondo que da observação dos dados, escolhamos [pic] como sendo uma função linear, então [pic] torna-se:



[pic]


Equação 5...
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