Mínimos quadrados.

Universidade Católica do Salvador
Escola de Engenharia Civil

Cálculo Numérico

MÉTODO DOS MÍNIMOS QUADRADOS

Iago Machado
Lucas Costa
Lucas Thaislan
Pedro Henrique

Salvador, 2014
MÉTODO DOS MÍNIMOS QUADRADOS

O método dos mínimos quadrados é um dos métodos mais utilizados para realizar aproximação de funções, que passem o mais próximo possível de pontos previamente definidos, porém sem necessariamente tocar nesses pontos.
Tal método consiste em calcular os valores das constantes a0, a1,...,an do polinômio que descreve a função, tal que a soma dos quadrados dos desvios do gráfico da função g(x) e dos pontos a que queremos aproximar, denominados f(x), seja mínima.
Existem alguns tipos de curvas de funções que podemos aplicar o processo da aproximação, e elas se diferenciam pelo seu grau:
- a função de grau 1 é uma reta de expressão geral: y = a0 + a1x
- a função de grau 2 é uma parábola de expressão geral: y = a0 + a1x + a2x2
- a função de grau 3 é uma função cúbica de expressão geral: y = a0 + a1x + a2x2 + a3x3 .
Estudaremos com mais profundidade a aproximação de funções de grau 1.

Método do Ajuste Linear Simples
Para resolver um problema de aproximação de uma função linear através desse método, toma-se inicialmente uma tabela de valores (xi , f(xi) ), e posteriormente resolvemos o sistema linear com duas equações e duas incógnitas com a seguinte estrutura:
A1n + a2Ʃx = Ʃy
A1Ʃx + a2Ʃx2 = Ʃxy
Onde n é o número de pares ordenados da tabela.
Podemos encontrar o A1 e A2 a partir de um sistema, para então termos uma função do primeiro grau, sendo: A1 + A2x = Y que é função desejada.
Existe também a fórmula específica para se achar os coeficientes a1 e a2 sem necessariamente a resolução de um sistema, que é:
]

Como pode-se observar para as formulas é ideal que se calcule o coeficiente A2 primeiro pois a fórmula do coeficiente a1 depende da mesma.
Exemplo:

O Método do Ajuste Linear Simples é bem