Mapas de karnaugh

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Mapas de Karnaugh

Introdução

O tamanho e a complexidade do circuito que realiza uma dada função depende de sua complexidade algébrica. Assim, sempre que for possível deverá ser adotada uma simplificação na expressão algébrica, o que conduzirá a uma simplificação dos circuitos.
Técnicas especiais de minimização foram desenvolvidas e a mais comum é a que emprega os Mapas de Karnaugh. Estatécnica é usada para reduzir as funções a formas mais simples. É uma técnica viável para funções de 2, 3, 4, 5 e 6 variáveis. Para funções de mais de 6 variáveis, técnicas mais avançadas, tais como os algoritmos de Quine-McClusky, devem ser utilizadas.

Mapas de Karnaugh

Os mapas de Karnaugh são ferramentas gráficas para simplificação de expressões booleanas, através desta técnica eapesar de algumas limitações a ela inerentes, pode-se obter simplificações de forma segura, rápida e prática.
Um mapa K corresponde a uma grade quadriculada, onde cada quadrículo ou célula corresponde a uma linha da tabela verdade (TV).

Existem mapas K oriundos de soma de minitermos ou produto de maxitermos. Aqui optaremos por tratar com soma de minitermos.

Um minitermo é um produto de todas asvariáveis da função (barradas ou não) - representa as condições que produzem saída 1;

Um maxitermo é representado pela soma de todas as variáveis (barradas ou não) da função - representa as condições que produzirão saída 0.

Exemplos:

[pic]

A forma do mapa K depende apenas do número de variáveis envolvidas, para uma função com N variáveis o mapa terá 2N células. Cada célulacorrespondendo a um minitermo (ou maxitermo).
A construção do mapa deve garantir que as células adjacentes, ou seja, aquelas que apresentarem faces comuns (lados comuns), devem representar termos que diferem em apenas uma variável.

Mapa de Karnaugh para função de 2 variáveis.

Para 2 variáveis a TV apresenta 4 linhas. O MK associado irá apresentar 4 quadrados que irão corresponder às 4 linhas da TV:

[pic]

Por exemplo, a TV abaixo teria o seguinte MK :

[pic]

e não há simplificação possível. Já neste caso:

[pic]

Justamente o produto vizinho simplificado acima, é explicitado no mapa de Karnaugh, pelos dois números “1” adjacentes.
Assim, o “Produto Vizinho” é identificado pela variável que muda de valor (de “0” para “1” ou vice-versa) quando percorremos o MK de um “1” para ooutro “1”, como no exemplo acima.

Outro exemplo :
[pic]

Numa soma podemos duplicar qualquer elemento (pois A+A=A), os números “1” do MK podem ser utilizados mais de uma vez. Exemplo:

[pic]

Como houve mais de uma simplificação resultante, os valores simplificados são entradas de uma soma lógica e vimos que o mapa facilitou a visualização da duplicação do termo XY para simplificação.Exercícios:
Usando o Mapa de Karnaugh, encontre as expressões simplificadas das tabelas verdades abaixo:
1)
[pic]

2)
|A |B |S |
|0 |0 |0 |
|0 |1 |0 |
|1 |0 |1 |
|1 |1 |1 |

3)
|A |B |S |
|0 |0 |1 |
|0 |1 |0 |
|1 |0 |1 |
|1 |1 |1 |

4)
|A |B |S ||0 |0 |1 |
|0 |1 |1 |
|1 |0 |1 |
|1 |1 |1 |

Mapa de Karnaugh para função de 3 variáveis

Para 3 variáveis teremos 23 = 8 linhas da TV, logo 8 quadrados no MK. Como no caso de duas variáveis, cada linha da TV, corresponde a um quadrado no MK, como descrito abaixo:

[pic]

A construção do MK visa facilitar a visualização dos produtosvizinhos, por isso podemos estranhar um pouco à primeira vista esta distribuição. No entanto podemos observar que sempre que percorremos o MK de um quadrado à outro, somente uma variável irá mudar de valor, e não dois, que é justamente a variável que identifica o produto vizinho. Este fato se deve ao tipo de seqüência numérica usada no MK: Código Gray. O código Gray possui a característica de que...
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