Mapa de karnaugh

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Mapa de Karnaugh
Jo˜o Paulo Cerquinho Cajueiro a 24 de agosto de 2009
O chamado mapa de Karnaugh foi desenvolvido pelo matem´tico e f´ a ısico Maurice Karnaugh1 em 1953, enquanto trabalhava no grupo de pesquisas da empresa Bell. Este m´todo ´ uma poderosa ferramenta para circuitos l´gicos, e e o pois permite simplificar equa¸˜es booleanas apenas agrupando ´reas comuns, co a o que nosso c´rebroconsegue fazer bem mais rapidamente do que aplicando e postulados e teoremas a equa¸˜es. co

1

De diagramas de Venn a Mapas de Karnaugh

Utilizar os teoremas e postulados da ´lgebra de Boole para simplificar equa¸˜es a co ´ bastante tedioso, o que faz com que seja bem prov´vel que hajam erros e a no processo. Mas j´ vimos que as equa¸˜es da ´lgebra de Boole podem ser a co a visualizadasatrav´s de um diagrama de Venn. Isto ´ exemplificado na figura 1, e e que apresenta um diagrama de Venn de 3 vari´veis com os respectivos mintermos a associados a cada uma das regi˜es. o

c
abc

abc abc abc

a

b

abc

abc abc

abc

(a) Regi˜es das vari´veis o a

(b) Sub-regi˜es dos mintermos o

Figura 1: Diagrama Venn com 3 vari´veis. a Utilizando os diagramas, ´ f´cil obter aequa¸˜o simplificada da fun¸˜o. Por e a ca ca exemplo, considere-se a fun¸˜o f1 = abc + abc + abc. Desenhando esta fun¸˜o ca ca num diagrama de Venn (figura 2), fica ´bvio que podemos simplific´-la para o a f1 = (a + c)b. O problema aparece quando acrescentamos mais 1 vari´vel. Como fazer um a diagrama definindo todas as 16 possibilidades? A solu¸˜o para isto ´ desenhar ca e
ele atualmente (entre outrascoisas), escreve o blog unclej0.blogspot.com. Esta informa¸˜o depende em se acreditar ou n˜o na wikipedia. ca a
1 Aparentemente

1

f1

Figura 2: Diagrama Venn definindo a regi˜o dada por f1 = abc + abc + abc = a (a + c)b. as regi˜es como quadrados, e n˜o como c´ o a ırculos, assim como foi feito na figura 3. No lado direito desta figura temos at´ a representa¸˜o do lado de fora do e ca diagramapropriamente dito de que regi˜es correspondem a que vari´veis. o a d abcd abcd abcd abcd abcd abcd abcd abcd abcd abcd abcd abcd

abcd

abcd

abcd

abcd b

abcd

abcd

abcd

abcd a

abcd

abcd

abcd

abcd

abcd

abcd

abcd

abcd

abcd

abcd

abcd c

abcd

Figura 3: Diagrama Venn de 4 vari´veis desenhado com regi˜es quadradas. a o Este diagrama de Vennmodificado j´ ´ o pr´prio mapa de Karnaugh, onde ae o no mapa as regi˜es em que a fun¸˜o ´ verdadeira s˜o marcadas com 1, e em que o ca e a a fun¸˜o ´ falsa s˜o marcadas com 0. ca e a

2

Mapas de Karnaugh

Cada regi˜o (quadrado) em um mapa de Karnaugh corresponde a uma linha a na tabela verdade. Ou seja, cada regi˜o corresponde a um mintermo e a um a maxtermo. A figura 4 mostra os mintermoscorrespondentes a cada uma das regi˜es. Nela tamb´m est´ presente o n´mero correspondente a cada mintermo o e a u

2

ou maxtermo. d abcd abcd abcd abcd
0 1 3 2

abcd abcd abcd abcd
4 5 7

6

b

abcd abcd abcd abcd a
12 13 15

14

abcd abcd abcd abcd
8 9 11

10

c Figura 4: Regi˜es correspondentes a mintermos de um mapa de Karnaugh o Note na figura 4 que os vizinhos de cada casa emum mapa de Karnaugh s˜o a tais que apenas muda uma vari´vel de cada vez. Por exemplo, da casa 5 para a a casa 1 (acima) s´ muda o b, da 5 para a 7 (direita) s´ muda o c, da 5 para a o o 4 (esquerda) s´ muda o d e da 5 para a 13 (abaixo) s´ muda o a. Isto ´ v´lido o o e a para todas as casas. ´ E poss´ aplicar isto inclusive para as casas nas bordas e nas quinas, pois ıvel podemos considerar que omapa d´ a volta em si mesmo. Deste modo consideraa se a casa 6 como vizinha da 4 e s´ muda a vari´vel c, e a casa 10 vizinha da 2 e o a s´ muda a vari´vel a. o a Isto nos permite agrupar termos visualmente. Por exemplo, considere a fun¸˜o f2 = ca m (3, 7, 12, 13) e seu respectivo mapa de karnaugh na figura 5. f2 =
m (3, 7, 12, 13)

d 00 01 05 1 13 09 13 17 0 15 0 11 c 02 06 0 14 0 10 b...
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