Manova

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Análise Multivariada da Variância (MANOVA)
Notas para a disciplina de Análise Estatística III Tomás da Silva

© 2003 Universidade de Coimbra

MANOVA

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Pontos principais
• O que é a MANOVA? O que pode fazer-se com a MANOVA? • MANOVA: Objectivos
Q Um exemplo

• Assunções para a MANOVA
Q Efectuar uma MANOVA com o SPSS Q Verificação das assunções Q Realizar a MANOVA

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MANOVA3

O Que É A MANOVA?
• Uma técnica similar à ANOVA (Aliás, é uma extensão lógica da ANOVA) • É usada quando o design envolve mais do que uma variável dependente. • Na verdade, devemos falar de modelos da MANOVA (algo que, aliás, já tínhamos visto quando falámos da ANOVA) • Em todos os modelos, de qualquer forma, teremos a seguinte equação: DADOS = MODELO + ERRO

MANOVA

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OBJECTIVOS
Setemos mais do que uma VD (var. dependente), então a MANOVA permite: • Controlar a inflação excessiva das taxas do erro “experimentwise”* de tipo I e II • Obviar à incapacidade da parte do investigador, ao efectuar múltiplas ANOVAS unifactoriais, de ter em consideração as correlações entre as VD’s.

*a taxa de erro experimentwise (αEW), representa o grau de risco que acresce na análise de maisde uma variável dependente em cada experiência. Em concreto a taxa de erro é definida como a probabilidade de cometer um ou mais erros de tipo I numa série de análises de variáveis dependentes.

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MANOVA

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Um Exemplo
Brace, Kemp & Snelgar (2003) apresentam o seguinte exemplo: Imagine que uma equipa de investigadores está interessada em estudar se o facto de ser vítima de um crimeinfluencia o grau de medo face ao crime. Neste caso pode comparar aqueles que foram vítimas de vários crimes, os que apenas foram vítimas uma vez e aqueles que nunca foram vítimas. Pode de seguida medir um certo número de diferentes aspectos do medo do crime, incluindo medidas objectivas tais como o número de medidas de segurança implementadas no lar, o número de vezes por semana que os participantessaem sozinhos, bem como uma medida de auto-relato.

MANOVA

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Estrutura da MANOVA
• Por comparação com um modelo familiar consideremos a estrutura de uma ANOVA bi-factorial, neste caso, já estudado, teremos:
y ijk = µ + α j + β k + αβ
jk

+ e ijk

• Se aplicarmos a este modelo a partição dos diferentes tipos de variância, usando as SQ (Somas dos Quadrados), teremos:
SS
total

= SSA

+ SS

B

+ SS

AB

+ SS

erro

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MANOVA

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Estrutura da MANOVA—Cont.
• Os testes de significância para cada uma das hipóteses do modelo são obtidos através do teste F, um para cada efeito, e calculados como um rácio da Média dos Quadrados (MQ) do efeito pela MQerro.



O modelo multivariado bi-factorial difere do modelo univariado primariamente porque a suautilização envolve o emprego de múltiplas variáveis dependentes. Por outro lado, as somas dos quadrados na partição do modelo da MANOVA envolverá o cálculo de valores de matrizes em vez de quantias escalares do tipo das SQ que encontrámos no modelo da ANOVA (Um escalar é um valor numérico singular, enquanto que uma matriz é uma arranjo bidimensional de valores numéricos.)



Podemos rescrever (emálgebra das matrizes) a partição referente ao modelo bi-factorial com interacção, como:

Τ = ΗA + HB + Η

AB



MANOVA

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Estrutura da MANOVA—Cont.
• A matriz total das somas dos quadrados e do cruzamento dos produtos (T) [SSCP T], é dividida numa parcela que contempla a adição das expressões matriciais que integram a informação sobre as SSCP entre os sujeitos (SSCP between; B)para cada hipótese do modelo (HA, HB e HAB) e uma matriz da SSCP para os elementos erro do modelo (E). Estas matrizes SSCP são muito importantes nas análises multivariadas. Constituem os termos que transmitem a informação acerca das correlações entre as variáveis dependentes. Esta informação é utilizada permanentemente na obtenção da solução do problema (Haase & Ellis, 1987). Depois de ter-se...
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