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LISTA DE EXERCÍCIOS DE ÁLGEBRA LINEAR - PROF. CHICO 01) Mostre que, para qualquer escalar k e quaisquer vetores u e v, k(u - v) = ku - kv. 02) Seja V o conjunto de todas as funções de um conjunto não vazio X num corpo K. Para quaisquer funções f, g V e qualquer k K, sejam f + g e kf as funções em V definidas como segue: }, mostre que V não é (f + g)(x) = f(x) + g(x) e (kf)(x) = kf(x).Demonstrar que V é um espaço vetorial sobre K. 03) Se V é o conjunto de pares ordenados de números reais V = {(a,b)/ a,b espaço vetorial sobre multiplicação por escalar em V: (i) (a, b) + (c, d) = (a + c, b + d) e k(a, b) = (ka, b) (ii) (a, b) + (c, d) = (a, b) 04) Seja V = e k(a, b) = (ka, kb) (iii) (a, b) + (c, d) = (a + c, b + d) e k(a, b) = (k2a, k2b) . Mostre que W é subespaço de V, onde : }. (i) W= {(a,b,0)/a,b em relação a cada uma das seguintes operações de adição e

(ii) W = {(a,b,c)/ a+b+c=0}. 05) Escreva o vetor u=(1, -2, 5) como combinação linear de v1=(1, 1, 1);v2=(1, 2, 3 );v3=(2, -1,1 ). Resp.: u = -6v1 + 3v2 + 2v3 06) Seja V espaço vetorial das funções f: (b) {et, e2t } são LI ou LD? 07) Sejam u, v e w vetores LI. Mostre que u + v, u - v e u - 2v + w são LI. 08) Sejam u, v e wvetores LI. Mostre que u, u + v e u + v + w são LI. 09) Prove que: u + v e u - v são LI 10) No 11) Considere os vetores i e i - 1 (a) Mostre que i e i -1 são LD, considerando (b) Mostre que i e i -1 são LI , considerando como espaço vetorial complexo e K= como espaço vetorial complexo e K= . Os vetores: Resp: LI dos vetores acima, u e v são LI . Resp: LD , os vetores (1,1,0); (2,1,1) e (4,3,1)são LD ou LI? . Resp: a) LI b) LI (a) Consideremos f(t) = e2t, g(t) = t3 e h(t) = t. Os vetores {f, g, h} são LI ou LD?

12) Seja V espaço vetorial dos polinômios de grau menor ou igual a 3 sobre 13) Sejam e1, e2, .... , en vetores LI. Suponha que u é combinação linear

u = t3 - 3t2 + 5t + 1 ; v = 2t3 - 4t2 + 9t + 5 e w = t3 - t2 + 8t + 2, são LI ou LD? digamos u = a1e1 + a2e2 + .... + anen.Mostre que a representação de u acima é única. 14) Escreva a matriz ; como combinação linear das seguintes matrizes: e

Resp.: A=2M1-M2+2M3

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15) Determine uma base e a dimensão do espaço das soluções do sistema linear (s): Resp.: Dimensão = 1 e base = 16) Verifique se os seguintes conjuntos de vetores formam uma base do (a) {(1,1,1),(1,-1,5)} (b) {(1,2,3),(1,0,-1),(3,-1,0),(2,1,-2)} (c){(1,1,1),(,1,2,3),(2,-1,1)} (d) {(1,1,2),(,1,2,5),(5,3,4)} 17) Seja W o subespaço do (i) Encontre uma base e a dimensão de W. (ii) Estenda a base de W para uma base do . em relação: Resp.: Resp.: (i) {(1,-2,5,-3),(0,7,-9,2)}, Dim(W) = 2 , (ii) {(1,-2,5,-3),(0,7,-9,2),(0,0,1,0),(0,0,0,1)} 18) Determine as coordenadas do polinômio p(t) = 1+2t-t3 (a) A base canônica de P3( ). . Resp.: não Resp.: nãoResp.: sim Resp.: não gerado pelos vetores (1, -2, 5, -3); (2, 3, 1, -4) e (3, 8, -3, -5).

(b) A base {1 , 1-t , 1-t2 , 1-t3 } 19) Determine as coordenadas de 1-2i em relação a seguinte base de

Resp.: sobre , { 1-i , 1+i }. Resp.:

20) A matriz de mudança da base B do Determine a base B.

para a base {(1,1),(0,2)} desse mesmo espaço é Resp: .

.

21) Encontre a dimensão e uma base doespaço solução do sistema:

Resp:{(-2,1,0,0),(5,0,-2,1,0),(-7,0,2,0,1)} 22) Determinar quais subconjuntos dos (a) (b) (c ) Resp: a) Não b) Sim c) Não são subespaços:

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23) Mostre que W não é subespaço vetorial de M2( ), onde: a) W conciste de todas as matrizes com determinante nulo. b) W consiste de todas as matrizes A para as quais A2 = A . 24) Sejam U, V e W os seguintes subespaços do (i)(ii) (iii) 25) Seja M do = U+V. = U+W. = V+W. tal que M= [(1, 1, 1, 0), (1, 2, 3, 4)]. Calcule a dimensão de M. Determine uma base Resp: Base{(0, 1, 0, 0),(0, 0, 1, 0),(1, 1, 1, 0),(1, 2, 3, 4)}, dim(M)=2 26) Mostre que : [(1, 1, 0, 0),(1, 0, 1, 1)]=[(2, -1, 3, 3),(0, 1, -1, -1)]. 27) Mostre que os conjuntos V=[(1, 2,1,3),(2, 0, 2, 0),(-4, 4,-4,6)] e W=[(1, 0, 1, 0),(0, 2, 0, 3)] geram o mesmo...
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