Macroeconomia

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Sistemas Lineares – Aula 03 ´ Algebra Linear
Prof. Daniel F. Coutinho

PPGEE, PUCRS, Brasil.

Sum´ rio a
Cap´tulo 3, C.T. Chen (1999); ı ´ Conceitos e resultados de algebra linear; Base, representacao e ortonomalizacao; ¸˜ ¸˜ Equacoes Alg´ bricas Lineares; ¸˜ e Transformacao de similaridade, forma diagonal e de ¸˜ Jordan; Equacao de Lyapunov e outros resultados. ¸˜
Sistemas Lineares – PPGEE –PUCRS – Aula 03 – 2/23

Introducao - 0.1 ¸˜
• Sistemas de Equacoes Lineares ⇒ solucao simultˆ nea de um conjunto de ¸˜ ¸˜ a equacoes, cujas vari´ veis aparecem de forma linear, e.g., ¸˜ a   10x + 20y + 20z = 100 50x + 40y + 10z = 300  30x + 10y + 40z = 200

• O sistema acima pode ser reescrito na forma de matrizes e vetores:      10 20 20 x 100  50 40 10   y  =  300  → Ax = b. 30 1040 z 200

Sistemas Lineares – PPGEE – PUCRS – Aula 03 – 3/23

Introducao - 0.2 ¸˜
• Resolucao de Sistemas de Equacoes Lineares. M´ todo de eliminacao de Gauss. ¸˜ ¸˜ e ¸˜ ´ – Atrav´ s da aplicacao de funcoes elementares a matriz do sistema e triangulae ¸˜ ¸˜ rizada. Matriz a ser triangularizada [ A b ]. – Troca de i-´ sima linha pro j-´ sima linha ⇒ li ⇔ lj e e – Substituicao de uma linha por umacombinacao dela com m´ ltipla de outra ¸˜ ¸˜ u li ⇐ li + αj lj – Substituicao da j-´ sima linha por uma m´ ltipla dela → li ⇐ αili. ¸˜ e u • No exemplo: – l2 ⇐ −l2 − 5l1 – l3 ⇐ −l3 + 3l1 – l3 ⇐ 5/6l2 − l3
Sistemas Lineares – PPGEE – PUCRS – Aula 03 – 4/23

Introducao - 0.3 ¸˜
Resultando no seguinte sistema triangular      10 20 20 x 100  0 60 90   y  =  200  400 0 0 55 z 6 z= y= x=400 ∼ 55×6 = 1.21 200−90×1.21 ∼ = 1.51 60 100−20×1.21−20×1.51 10

Sistemas Lineares – PPGEE – PUCRS – Aula 03 – 5/23

Introducao - I ¸˜
• Considere Rn como o espaco dos n´ meros reais de dimens˜ o n. Cada vetor ¸ u a ´ x ∈ Rn e tal que   x1    x2  x =  .  , xi ∈ R. .  .  xn ´ • O conjunto de vetores Xm := {x1, x2, . . . , xm}, xi ∈ Rn, e dito ser linearmente dependente (LD) se existem n´meros reais, αi, tais que: u α1x1 + α2x2 + · · · + αmxm = 0. ´ • Se a igualdade acima e satisfeita apenas no caso trivial, αi = 0, ent˜ o o conjunto a ´ e dito ser linearmente independente (LI). ´ • Se o conjunto Xm e LD, ent˜ o existe ao menos um αi tal que: a x1 = − 1 αi (α2x2 + · · · + αmxm) = β2x2 + · · · + βmxm, βi = − α1 α1
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Introducao -II ¸˜
• A dimens˜ o de um espaco linear pode ser determinada pelo n´ mero de vetores a ¸ u ´ LI no espaco. O espaco Rn e formado por n vetores LI. ¸ ¸ ´ • Base – e conjunto de vetores LI que formam um espaco vetorial. Por exemplo, ¸ n para o R considere o seguinte conjunto de vetores LI: {q1, · · · , qn}. Todo o vetor x ∈ Rn pode ser reescrito da seguinte maneira: x = α1q1 + α2q2 + · · · + αnqn •Definindo a seguinte matriz Q := q1 q2 · · · qn . α1  α Ent˜ o o vetor x pode ser representado na seguinte forma: x = Q  .2 a .  . αn ´ onde x e a representacao do vetor x na base Q. ¸˜      := Qx, 

Sistemas Lineares – PPGEE – PUCRS – Aula 03 – 7/23

Introducao - III ¸˜
• Base ortonormal – os vetores que comp˜ em a base s˜ o as colunas da matriz o a identidade In, ie.         1 00 x1 0 1 0                x2  i1 =  0  , i2 =  0  , · · · , in =  0  ⇒ x := x1i1 +x2i2 +· · ·+xnin =  .  . . . . .  .  . . . . . . xn 0 0 1 • Norma de vetores – representa o tamanho de um vetor x. Qualquer funcao es¸˜ calar e real de x, representado por x , pode ser definido como a norma de x se: 1. x ≥ 0, para qq x e x = 0 sse x = 0; 2. αx = |α| x ,para qq real α; 3. x1 + x2 ≤ x1 + x2 , para qq x1 e x2.
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Norma de Vetores
• Norma 1 ⇒ x • Norma 2 ⇒ x
1 2

:= :=


n i=1

xi .
n 2 i=1 xi .



xx=
i=1,...,n

• Norma ∞ ⇒ x

:= max |xi|.

´ • A norma-2 ou norma Euclidiana e a mais utilizada e quando n˜ o for indicado o a ´ndice da norma, i.e. · , significa que e a norma-2. ´ ı ´ • No software...
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