Lei de gauss

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Capítulo 9-Lei de Gauss

LEI DE GAUSS
Quando se coloca fubá (ou similar) na superfície de um óleo viscoso onde existem cargas elétricas aparecem linhas . Faraday percebeu que a direção da linha em cada ponto do espaço era a direção da força elétrica que atuaria em uma carga elétrica pontual colocada naquele ponto. Por isso denominou essas linhas de linhas de força. Faraday convenciou que osentido de uma linha em um ponto qualquer do espaço era o sentido da força elétrica que atuaria em uma carga pontual positiva colocada no ponto . Com essa convenção as linhas de forças saem das cargas elétricas positivas e entram nas cargas elétricas negativas. Faraday considerava que as linhas de forças tinham existência real e que eram elas que exerciam forças sobre as cargas elétricas. As linhasde forças de um dipolo elétrico estão representadas na figura abaixo.

Figura 101- Fontes e sumidouros.

Através da análise das linhas de forças produzidas por diversos sistemas de cargas elétricas Faraday enunciou a primeira versão da lei que denominamos hoje em dia de lei de Gauss. “Se considerarmos como positivo o número de linhas de forças que saem de uma superfície fechada e de negativo onúmero de linhas de forças que entram na mesma superfície, o número total de linhas de forças (fluxo de linhas) que atravessam uma superfície fechada é proporcional à carga elétrica contida no interior desta superfície. “

Figura 102-Lei de Gauss

Na figura acima, o fluxo de linhas de força através de A1 é positivo, o fluxo através de A2 é nulo e o fluxo através de A3 é negativo. Hoje em dianão se utiliza mais o conceito de linhas de forças para descrever a interação elétrica. A interação elétrica é descrita pelo campo elétrico. Em analogia com a hidrodinâmica define-se o fluxo do campo elétrico da seguinte forma:

108

Capítulo 9-Lei de Gauss

v $ Φ E = ∫ E • n dA
A

FLUXO DO CAMPO ELÉTRICO

Figura 103- Fluxo do campo elétrico.

O cálculo do fluxo do campo elétrico deuma carga elétrica pontual requer o conceito de ângulo sólido.

O ângulo sólido com vértice no centro de uma calota esférica de área A e raio r e que contem a calota esférica é por ÂNGULO A definição Ω = 2 . O ângulo sólido SÓLIDO r independe do raio da calota esférica porque a área da calota esférica é proporcional quadrado do seu raio. A unidade de ângulo Figura 104- Ângulo sólido de uma calotaesférica. sólido é o esferoradiano .

Figura 105- ângulo sólido de uma superfície qualquer.

O conceito de ângulo sólido pode ser generalizado para o caso de uma superfície qualquer A . Divide-se a superfície A utilizando-se N superfícies cônicas com o vértice em O. O ângulo
109

Capítulo 9-Lei de Gauss ∆A' , r2 onde ∆A' é a área da calota esférica e r o seu raio . A projeção da $ área ∆Asobre o plano perpendicular ao vetor unitário r é $ $ ∆A⊥ = ∆A cos(θ ) = r • n ∆A . Quando ∆Ω é pequeno temos que $ $ r • n ∆A ∆A' ∆A ∆Ω = 2 ≅ 2⊥ = . A definição que generaliza o conceito r r r2 de ângulo sólido é N $ $ $ $ r • n ∆A r • n dA Ω = lim N →∞ ∑ i i2 i = ∫ . ri r2 i =1 A A definição anterior pode ser aplicada à uma superfície fechada. O ângulo sólido que contem uma superfície esféricacom vértice no seu centro é sólido com vértice em O e que contem a área ∆A é ∆Ω =

ÂNGULO SÓLIDO

Ω=∫

$ $ $ $ r • n dA r • r dA =∫ = r2 r2 A A
Figura 106- Ângulo sólido de uma superfície esférica.

∫ dA 4π r 2 dA A =∫ 2 = 2 = = 4 π esfrd r r r2 A
A figura ao lado mostra que o ângulo sólido que contem uma superfície fechada qualquer com o vértice no interior da superfície é 4π esfrdporque $ $ $ $ r • n dA r • n" dA" Ω=∫ =∫ = 4π . 2 r r2 A A

Figura 107- Ângulo sólido de uma superfície fechadaponto interno.

O ângulo sólido que contem uma superfície fechada qualquer com o vértice no exterior da superfície é nulo porque a contribuição ao ângulo sólido de duas áreas diametralmente opostas se cancelam. 1 ) ) 1 ) ) 2 r • n1 dA1 + 2 r • n2 dA2 = r1 r2 ) ) $ $ r • n1 dA1 r • n2...
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