Lei de gauss

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Lei de Gauss
Aula 3 – Física III
Profª Gislaine Marini

Setembro
2012

Lei de Gauss: Motivação


Para determinar o campo elétrico E de um anel carregado e de uma barra
carregada:
consideramos os campos dE (k.dq/r2)criados por elementos de carga do anel e
da barra.
– Simplificamos o cálculo de E usando a simetria para descartar as componente
perpendiculares dos vetores dE.


•Para certas distribuições simétricas de carga, podemos poupar muito mais
trabalho usando uma lei conhecida como Lei de Gauss (Carl Friedrich
Gauss – 1777-1855):


Em vez de considerar os campos dE criados pelos elementos de carga de uma
dada distribuição de cargas
– Considerar uma superfície fechada imaginária que envolve a distribuição de
carga (superfície gaussiana), que pode terqualquer forma, mas a forma que
facilita os cálculos do campo elétrico é a que reflete a simetria da distribuição de
cargas.



A lei de Gauss relaciona os campos elétricos nos pontos de uma superfície
gaussiana à carga total envolvida pela superfície.



Podemos usar a lei de Gauss no sentido inverso: se conhecemos o campo
elétrico em uma superfície gaussiana, podemos determinar acarga total
envolvida pela superfície.

Fluxo
• Considere a figura ao lado:
– Espira de área A.
– Vento uniforme com
velocidade v.
– Vazão(Φ): volume por
unidade de tempo do ar
através da espira.
– A vazão depende do ângulo
(θ) entre v e o plano da espira:
• Se v é perpendicular(θ=90º)
ao plano da espira: Φ=v.A.
• Se v é paralela(θ=0º) ao
palno da espira, o ar não
passa.(Φ=0).

rrφ = (v cos θ )A = v ⋅ A

Fluxo de um Campo Elétrico
• A figura mostra uma superfície gaussiana
arbitrária(assimétrica)
• Campo elétrico não-uniforme
• Superfície dividida em elementos de área A → A
perpendiculares a gaussiana.
• Campo elétrico uniforme dentro dos elementos de
área

rr
• Fluxo de campo elétrico: φ = ∑ E ⋅ ∆A

• O valor da soma dos produtos escalares(positivo,negativo ou nulo) determina o fluxo através da
superfície.
• Definição exata do fluxo de campo elétrico através
de uma superfície fechada:

rr
φ = ∫ E ⋅ dA

O fluxo elétrico através de uma
superfície gaussiana é proporcional ao
número de linhas de campo elétrico
que atravessam a superfície

A Lei de Gauss


Lei que relaciona o fluxo total Φ de um campo
elétrico através de umasuperfície
fechada(gaussiana) à carga total qenv que é
envolvida por essa superfície:

ε 0φ = q env



Usando a definição de fluxo:




rr
ε 0 ∫ E ⋅ dA = qenv

Validas a penas no vácuo ou no ar.

qenv :soma algébrica de todas as cargas
positivas e negativas envolvidas pela superfície
gaussiana



qenv positiva: fluxo para fora da gaussiana
qenv negativa: fluxo para dentro dagaussiana



S1: para fora →Φ positivo →qenv positivo.



S2: para dentro →Φ negativo →qenv negativo.



S3: não envolve carga →Φ nulo.



S4: cargas positivas e negativas com mesmo
valor absoluto →Φ nulo.

Exemplo 1

A Lei de Gauss e a Lei de Coulomb


Ambas são uma relação entre carga e
campo elétrico.



Carga puntual q em uma superfície
gaussiana esféricaconcêntrica de raio r.
– dA perpendicular à gaussiana.
– E perpendicular e dirigido para fora da
gaussiana.
– θ=0 entre E e dA.

rr
ε 0 ∫ E ⋅ dA = ε 0 ∫ EdA = qenv

– E varia radialmente com a distância, mas
tem mesmo valor em todos os pontos da
gaussiana

ε0E∫ dA = q
– Para a superfície esférica:
– De onde:

ε 0 E (4πr

2

)

dA = 4πr 2


q
= q∴E =
4πε 0 r 2
1 Condutor carregado isolado


Se uma carga em excesso é introduzida em
um condutor, esta carga se concentra na
superfície do condutor, o interior do condutor
continua a ser neutro.



Pedaço de cobre preso por um fio isolante
com uma carga em excesso q:
– Campo elétrico deve ser nulo no interior do
condutor(equilíbrio eletrostático)
– Se Edentro=0→Esuperfície=0(Φatravés=0), ou...
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