interpolacao polinomial

INTERPOLAÇÃO POLINOMIAL - RESOLUÇÃO POR SISTEMA LINEAR

CRICIÚMA –2013

INTERPOLAÇÃO POLINOMIAL - RESOLUÇÃO POR SISTEMA LINEAR

CRICIÚMA – 2013
1 INTRODUÇÃO Interpolar uma funcão f (x) consiste em aproximar essa função por uma outra função g (x), escolhida em uma classe de funções definida a priori e que satisfaça algumas propriedades. Dessa forma g (x) é usada em substituição a f(x). Essa necessidade de usar uma função de aproximação g (x), surge em várias situações:
Quando só sabemos os valores numéricos de alguns pontos da função e precisamos calcular o valor da função num ponto intermediário;
Quando a função tem uma expressão tal que operações como a diferenciação ou integração são difíceis ou mesmo impossíveis de serem realizadas.
2 CONCEITO DE INTERPOLAÇÃO Sejam N + 1 pontos distintos:

Chamamos de “nós de interpolação”. E os valores de f (x) nesses pontos:

A interpolação polinomial de f (x) consiste em obter uma função g (x), tal que:

Graficamente teremos algo como:

[Figura 1]

Vejamos que, apesar das funções f(x) e g(x) gerarem curvas diferentes, os nós são iguais.
3 INTERPOLAÇÃO POLINOMIAL Sejam N +1 pontos:

Queremos aproximar f(x) por um polinômio PN (x), de grau menor ou igual aN, onde:

Representado PN (x) por:

Então, obter PN (x) significa obter os coeficientes:

A matriz dos coeficientes do polinômio de grau N é a Matriz de Vandermonde:

Desde que sejam pontos distintos, teremos , admitindo solução única ao sistema linear.

Teorema 1: Existe um único polinômio PN (x), de grau menor ou igual a N, tal que:

Desde que:

4 EXEMPLO DE INTERPOLAÇÃO LINEAR Determinar o polinômio de grau menor ou igual a 2 que interpole o dados da tabela abaixo:

Montamos então, o sistema linear:

Resolvendo o sistema linear, obtemos que:

O