Interpolação polinomial
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Interpola¸˜o polinomial: ca Diferen¸as divididas de Newton cMarina Andretta
ICMC-USP
16 de maio de 2012 Baseado no livro An´lise Num´rica, de R. L. Burden e J. D. Faires. a e
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Diferen¸as divididas c
J´ vimos como construir aproxima¸˜es sucessivas para um valor de f (x) a co atrav´s de polinˆmios interpoladores de Lagrange com graus cada vez e o maiores, usando o M´todo de Neville. e Veremos agora como construir os polinˆmios interpoladores de maneira o sucessiva.
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Diferen¸as divididas c
Suponha que Pn (x) seja o n-´simo polinˆmio interpolador de Lagrange e o que coincide com uma fun¸˜o f nos pontos x0 , x1 , ..., xn . ca Embora este polinˆmio seja unico, h´ diversas formas diferentes de o ´ a represent´-lo. a As diferen¸as divididas de f em rela¸˜o a x0 , x1 , ..., xn s˜o usadas para c ca a representar Pn (x) na forma
Pn (x) = a0 +a1 (x−x0 )+a2 (x−x0 )(x−x1 )+...+an (x−x0 )(x−x1 )...(x−xn−1 ), para constantes adequadas a0 , a1 , ..., an .
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Diferen¸as divididas c
Para determinar o valor de a0 , note que, quando calculamos Pn (x0 ), temos a0 = Pn (x0 ) = f (x0 ). Da mesma forma, calculando Pn (x1 ), temos f (x0 ) + a1 (x1 − x0 ) = Pn (x1 ) = f (x1 ). Da´ podemos calcular o valor de a1 : ı, a1 = f (x1 ) − f (x0 ) . x1 − x0
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Diferen¸as divididas c
Apresentamos, agora, a no¸˜o de diferen¸a dividida. ca c A diferen¸a dividida de ordem zero da fun¸˜o f em rela¸˜o a xi , denotada c ca ca f [xi ], ´ o valor de f em xi : e f [xi ] = f (xi ).
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Diferen¸as divididas c
A