integracao por substituicao

Unidade 1
Integral por Substituição
Método da Substituição.
Além de se integrar as funções com o uso das funções básicas, pela tabela de integração, há a possibilidade de se integrar funções mais complexas realizando-se reduções que possibilitam a solução através da tabela.
Um destes métodos é o método da substituição que é baseado na regra da cadeia da derivação. Lembrando a regra da cadeia:
, ou seja,

é uma primitiva de f(g(x)).g’(x).

Desta forma podemos integrar f(g(x)).g’(x) obtendo-se então F(g(x))+c conforme podemos observar abaixo.

(1)

Para simplificar a notação chama-se:

Substituindo-se em (1)

Diferenciando obtém-se:

Na prática devemos definir uma função conveniente de tal forma que a integral obtida seja mais simples, podendo ser resolvida através das funções básica.

Abaixo, serão apresentados alguns exemplos para melhor entendimento.

Exemplo 1:

Neste caso a melhor substituição é:
Aplicando-se

e

, sendo que

na equação original obtemos:

A resolução de acordo com a tabela de integração é:

Retornando

no resultado da integral, temos:

Integral por Substituição

Exemplo 2:

Fazendo-se

,

e substituindo-se na integral acima temos:

Retornando a função

Exemplo 3:

Fazendo

, portanto

, então:

Exemplo 4:

Das relações trigonométricas temos:

, a integral fica:

Fazendo-se

Observe que a integral foi reduzida a uma forma simples.

Integral por Substituição

Exemplo 5:

Fazendo-se
Substituindo-se

e

portanto

na integral obtém-se:

Exemplo 6:

Como esta é uma integral de soma, podemos escrever:

A primeira integral do segundo membro é direta. Já a segunda é necessário fazer a substituição do argumento do integrando para se reduzir a uma função simples.

e portanto
Em conseqüência:

Exemplo 7:

Integral por Substituição
Sabendo-se que a é diferente de zero e que se tem tabelado uma integral cujo denominador é
2
do tipo x +1, basta