Cálculo

1

Integração por Substituição Trigonométrica
Prof. Doherty Andrade

I. Integrar é uma técnica, assim como derivar. Existem muitas técnicas de integração: integração por substituição, integração por partes, integração por frações parciais, integração por substituição trigonométrica. Todas bem simples, é só pegar o jeito.
Continuando veremos a integração por substituição trigonométrica. Usada quando o integrando contém uma das seguintes formas

a2 − b2 x2 ,

a2 + b2 x2 e

b2 x 2 − a2 .

Vejamos alguns exemplos:

a sin u b a
(b) ∫ a 2 + b 2 x 2 dx faça a substituição x = tan u b a
2 2
2
(c) ∫ b x − a dx faça a substituição x = sec u b Fazendo essas substituições obteremos integrais na variável u .A expressão da integral na variável original x pode ser obtida por meio do auxílio de um triângulo retângulo.
Como se faz?
(a)

∫

a 2 − b 2 x 2 dx faça a substituição x =

II. Exemplo: Calcule a integral ∫ 1 − x 2 dx fazendo a substituição x = sin u .

∫

1 − x 2 dx = ∫ 1 − sin 2 u cos u du = ∫ cos 2 u du = ∫

1 + cos(2u )
1
1 du = u + sin(2u )
2
2
4

Ou seja,

∫

1 − x 2 dx =

1
1
1
1
1
1
u + sin(2u ) = u + 2sin(u ) cos(u ) = u + sin(u ) cos(u )
2
4
2
4
2
2

Voltando a variável original: faça um triângulo indicando a substituição trigonométrica realizada Do triangulo vemos que cos u = 1 − x 2 e como x = sin u . Assim temos 1
1
2
2
∫ 1 − x dx = 2 arcsin x + 2 x 1 − x .

2

III. Algumas observações (relembrando as funções trigonométricas)
1. Definições sin( x) cos( x) cos( x)
1
cot( x) =
=
sin( x) tan( x)

1 cos( x)
1
csc( x) = sin( x)

tan( x ) =

2. Identidades trigonométricas sin 2 ( x) + cos 2 ( x) = 1

sec( x ) =

cot 2 ( x) + 1 = csc2 ( x)

tan 2 ( x) + 1 = sec 2 ( x)

3. Soma de arcos sin( x ± y ) = sin( x) cos( y ) ± cos( x) sin( y ) cos( x ± y ) = cos( x) cos( y ) sin( x) sin( y )

4. Arco duplo

cos(2 x) = 1 − 2sin 2 ( x)

5. Arco metade

6.