Integração por Substituição - Exercícios Resolvidos

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2014

1. Método da Substituição ou Mudança de Variável para Integração

Sejam f(x) e F(x) duas funções tais que F’(x) = f(x). Suponhamos que g seja outra função derivável tal que a imagem de g esteja contida no domínio de F. Podemos considerar a função composta F0g.
Pela regra da cadeia, temos:
[F(g(x))]’ = F’(g(x)) . g’(x) = f(g(x)) . g'(x), isto é, F(g(x)) é uma primitiva de f(g(x)) . g’(x).
Temos, então:

∫ 𝑓�𝑔(𝑥)�. 𝑔′ (𝑥)𝑑𝑥 = 𝐹�𝑔(𝑥)� + 𝑐

(I)

Fazendo u = g(x), du = g’(x) dx e substituindo em (I), vem
∫ 𝑓�𝑔(𝑥)�. 𝑔′ (𝑥)𝑑𝑥 = ∫ 𝑓(𝑢)𝑑𝑢 = 𝐹(𝑢) + 𝑐

Na prática, devemos então definir uma função u = g(x) conveniente, de tal forma que a integral obtida seja mais simples.

2. INTEGRAIS IMEDIATAS
1) ∫ dx = x + c

2) ∫

dx x = ln |x| + c

3) ∫ x α dx =

xα+1 α+1 + c (α é constante ≠ 1)

4) ∫ ax dx =
+c
lna ax 5) ∫ ex dx = ex + c

6) ∫ senx dx = −cosx + c

7) ∫ cosx dx = senx + c

8) ∫ 𝑡𝑔𝑥 𝑑𝑥 = ln| 𝑠𝑒𝑐𝑥| + 𝑐

9) ∫ 𝑐𝑜𝑡𝑔𝑥 𝑑𝑥 = ln| 𝑠𝑒𝑛𝑥| + 𝑐

10) ∫ 𝑐𝑜𝑠𝑠𝑒𝑐𝑥 𝑑𝑥 = ln| 𝑐𝑜𝑠𝑠𝑒𝑐𝑥 − 𝑐𝑜𝑡𝑔𝑥| + 𝑐
11) ∫ 𝑠𝑒𝑐𝑥 𝑑𝑥 = ln| 𝑠𝑒𝑐𝑥 + 𝑡𝑔𝑥| + 𝑐
12) ∫ sec 2x dx = tgx + c

13) ∫ cossec 2 x dx = −cotgx + c

14) ∫ secx. tgx dx = secx + c

15) ∫ cossecx. cotgx dx = −cossecx + c

16) ∫

dx

�1−x2

= arc senx + c

18) ∫

= arc secx + c

19) ∫ senh x dx = cosh x + c

20) ∫ cosh xdx = senh x + c

21) ∫ 𝑠𝑒𝑐ℎ2 𝑥𝑑𝑥 = 𝑡𝑔ℎ 𝑥 + 𝑐

22) ∫ 𝑐𝑜𝑠𝑠𝑒𝑐ℎ2 𝑥 𝑑𝑥 = −𝑐𝑜𝑡𝑔ℎ 𝑥 + 𝑐

23) ∫ sech 𝑥. 𝑡𝑔ℎ 𝑥 𝑑𝑥 = sech 𝑥 + 𝑐

24) ∫ 𝑐𝑜𝑠𝑠𝑒𝑐ℎ 𝑥 . 𝑐𝑜𝑡𝑔ℎ 𝑥𝑑𝑥 = −𝑐𝑜𝑠𝑠𝑒𝑐ℎ 𝑥 + 𝑐
25) ∫
26) ∫

𝑑𝑥

�1+𝑥 2
𝑑𝑥

� 𝑥 2 −1

= arg 𝑠𝑒𝑛ℎ 𝑥 + 𝑐 = 𝑙 𝑛�𝑥 + √𝑥 2 + 1� + 𝑐
= arg 𝑐𝑜𝑠ℎ 𝑥 + 𝑐 = 𝑙 𝑛�𝑥 + √𝑥 2 − 1� + 𝑐

27) ∫ 1−𝑥 2 = �
𝑑𝑥

28) ∫

𝑥�1−𝑥 2

30) ∫

𝑎 2 −𝑢 2

29) ∫

17) ∫ 1+x2 = arc tgx + c dx dx

x�x2 −1

2

𝑑𝑥
𝑑𝑥

𝑥�1+𝑥