Fatorial

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JEITO MODERNO DE APRENDER MATEMÁTICA-WWW.MIXMATEMATICA.COM.BR
* ATENÇÃO: Copiar é CRIME. Art. 184 do código Penal e Lei n° 5998/73

# ESTUDO DOS FATORIAIS – VESTIBULAR 2012 – PRISE 02 #
02- FATORIAL: O produto de n números naturais, a começar por n, até o valor 1, é denominado fatorial de n e indica-se por n!.
c)

5!.7! 3!.6!

Solução

n! n.(n  1).(n  2)...2.1
Fatoriais especiais:• 0! = 1 • 1! = 1
EXEMPLOS

  

0! = 1 1! = 1 2! = 2 . 1 = 2 3! = 3 . 2 . 1 = 6 4! = 4 . 3 . 2 . 1 = 24 5! = 5 . 4 . 3 . 2 . 1 = 120 6! = 6 . 5 . 4 . 3 . 2 . 1 = 720 7! = 7 . 6 . 5 . 4 . 3 . 2 . 1 = 5040
E ASSIM SUCESSÍVAMENTE... Verifique que o fatorial de um número, parte dele mesmo, sempre decrescendo cada fator em uma unidade até chegar em 1. EXEMPLO:

5!.7!(5.4.3.2.1).(7.6.5.4.3.2.1)  3!.6! (3.2.1).(6.5.4.3.2.1) 5!.7!  5.4.7 Efetua as 3!.6! multiplicações 5!.7!  140 3!.6!
4!2! 3!5!

Elimina

d)

Neste caso, existe uma soma no numerador e uma subtração no denominador, quando uma soma ou uma subtração aparece no numerador ou no denominador, devemos tirar o fator comum em evidência.  Fator comum...

7! = 7 . 6 . 5 . 4 . 3 . 2 . 1 = 5040 4! = 4 . 3 . 2 . 1 = 24  

4!2! 4.3.2.1  2.1  5!3! 5.4.3.2.1  3.2.1
4!2! 2.1.(4.3  1)  5!3! 2.1.(5.4.3  3)

Fator comum em evidencia Elimina o Fator comum

ATIVIDADE FIQUE DE OLHO!! 1. Calcule o valor de cada expressão abaixo:
a) 3! . 4! Solução

4!2! 13  5!3! 57

Efetua a soma

OBSERVAÇÃO: É possível desenvolvermos um fatorial maior em função de um fatorial menor, para isso, bastautilizarmos o raciocínio. Efetua as multiplicações Observe:  7! = 7. 6 . 5 . 4 . 3 . 2 . 1 = 7. 6 . 5! 5! Podemos trocar 5.4.3.2.1 por 5!

3!.4! (3.2.1).(4.3.2.1) 3!.4! 6.24 3!.4! 144
b)

n! n(n  1)!

7! 4!

Solução

7! 7.6.5.4.3.2.1   7.6.5.  .210 4! 4.3.2.1
1

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* ATENÇÃO: Copiar é CRIME. Art. 184 do código Penal e Lein° 5998/73

Assim como paramos no 5! Poderíamos ter parado a hora que nos convir, mas para isso não podemos nos esquecer do SINAL DO FATORIAL (!) No exemplo acima, temos:  7! = 7. 6 . 5 . 4 . 3 . 2 . 1 é igual a  7! = 7 . 6!  7! = 7. 6. 5!  7! = 7. 5. 4. 3! ou Ou e assim sucessivamente.

Lembre-se que: 7! = 7. 6. 5! Assim como paramos a hora que nos convir com números, podemos tambémparar a decomposição quando envolvem variáveis, por exemplo:

 (n  3)! (n  3)(n  2)!  (n  3)! (n  3)(n  2)(n  1)!  (n  3)! (n  3)(n  2)(n  1)(n)!

ou ou ou

OS EXEMPLOS ANTERIORES, PODERIAMOS RESOLVÊ-LOS DA SEGUINTE FORMA:

 (n  3)! (n  3)(n  2)(n  1)(n)(n 1)!
Não esquecendo que, sempre, diminuímos 1 unidade a cada fator que decompomos. ATIVIDADE FIQUE DE OLHO!!5!.7! 3!.6!
Solução

 3!.6! 
5!.7! 5!.7!

5!.7!

5.4.3!.7.6! 3!.6!

Elimina
EXERCÍCIOS RESOLVIDOS 01. Simplifique as expressões abaixo: a)

 3!.6!  5.4.7  3!.6!  140
4!2! 3!5!
Solução

Efetua as multiplicações

n! (n  2)!
Solução

BEM MAIS FÁCIL NÃO...

 

n! n.(n  1).(n  2)! = (passa o serrote) (n  2)! (n  2)!
n! = n(n  1) (n  2)!

  

4!2!4.3.2!2!  5!3! 5.4.3.2!3.2!
4!2! 2!.(4.3  1)  5!3! 2!.(5.4.3  3)
Fator comum em evidencia

Só precisa desenvolver quando a simplificação envolve uma equação. b) Elimina o Fator comum BEM MAIS FÁCIL

(n  1)! n! n!
Solução

4!2! 13  5!3! 57

NÃO...
EXERCÍCIOS DA GALERA!!

Muito cuidado... a expressão envolve uma soma, não podemos simplificar n!.

 (n  1)!n!  (n  1).n!n! (n  1)!n!  n![(n  1)  1]
n! n!

01- Simplifique as expressões abaixo:

n!

n!

Fator comum em evidencia Elimina o Fator comum

a)

8!.6! 4!.10!

c)

10!.7! 2.5!.12!

 (n  1)!n!  n  2
n! b) 100! 98! d) 4.5!3.4! 4!

Efetua a soma

02. Resolva as seguintes equações envolvendo fatoriais.

SIMPLIFICAÇÃO DE EXPRESSÕES ALGÉBRICAS ENVOLVENDO FATORIAIS.

a) (n ...
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