Exponencial

Disponível somente no TrabalhosFeitos
  • Páginas : 9 (2136 palavras )
  • Download(s) : 0
  • Publicado : 20 de agosto de 2012
Ler documento completo
Amostra do texto
Equações Exponenciais e Logarítmicas
UNIVERSIDADE DO ESTADO DE MATO GROSSO CAMPUS DE SINOP DEPARTAMENTO DE ENGENHARIA CIVIL INTRODUÇÃO AO CÁLCULO 1.Equações exponenciais 2.Equações logarítmicas 3.Exercícios

Equações Exponenciais e Logarítmicas

Prof.: Rogério Dias Dalla Riva

1. Equações exponenciais

1. Equações exponenciais

Abordaremos agora as equações exponenciais que não podemser reduzidas a uma igualdade de potências de mesma base pela simples aplicação das propriedades das potências. A resolução de uma equação deste tipo baseia-se na definição de logaritmo, isto é, se 0 < a ≠ 1 e b > 0, tem-se:

Exemplos:
1) Resolva as equações:
a) 2x = 3 b ) 5 2 x −3 = 3

ax = b ⇒ x = loga b

3

4

1. Equações exponenciais

1. Equações exponenciais

Solução:
a) 2x =3 ⇒ x = log2 3 S = {log2 3}

Exemplos:
2) O crescimento de uma certa cultura de bactérias obedece à função X(t) = Cekt, em que X(t) é o número de bactérias no tempo t ≥ 0; C, k são constantes positivas (e é a base do logaritmo neperiano). Verificando que o número inicial de bactérias X(0) duplica em 4 horas, quantas se pode esperar no fim de 6 horas?

b ) 5 2 x −3 = 3 ⇒

52 x = 3 ⇒ 25 x =375 ⇒ x = log25 375 53 S = {log25 375}

5

6

1. Equações exponenciais

1. Equações exponenciais

Solução:
t =0 X (t ) = Cekt → X (0) = C ⋅ e k ⋅0 = C

Resposta: Ao final de 6 horas, o número de bactérias é aproximadamente 2,83 vezes o valor inicial.

X (4) = C ⋅ e 4k = 2C (duplica em 4 horas) ∴ e 4 k = 2 ⇒ 4k = ln 2 ⇒ k = Então, para t = 6, vem: X (6) = C ⋅ e 6 ln = C ⋅ eln 2
41 ln2 ⇒ k = ln 2 4 ⇒ k = ln 4 2 4

2 2

= C ⋅e

ln

( 2)
4

6

= C ⋅e

ln

( 2)

3

= C ⋅ eln

23

=
7
8

= C ⋅ 2 2 ≅ 2,83 ⋅ C

1. Equações exponenciais

1. Equações exponenciais

Exemplos:
3) Resolva a equação 23 x − 2 = 3 2 x +1.

Solução:
23 x −2 = 32 x +1 ⇒
x

23 23 x = 32 x ⋅ 3 ⇒ 2 2 32

( ) ( )

x x

= 22 ⋅ 3 ⇒

8x = 12 ⇒ 9x

8 ⇒  = 12 ⇒ x = log8 12 9 9   S = log8 12  9 
9
10

2. Equações logarítmicas

2. Equações logarítmicas

Podemos classificar as equações logarítmicas em três tipos:

1o tipo: loga f(x) = loga g(x) É a equação que apresenta, ou é redutível a, uma igualdade entre dois logaritmos de mesma base a (0 < a ≠ 1). A resolução de uma equação deste tipo baseia-se na quarta consequência dadefinição.

11

12

2. Equações logarítmicas

2. Equações logarítmicas

Não nos devemos esquecer das condições de existência do logaritmo, isto é, a base do logaritmo deverá ser positiva e diferente de 1 e o logaritmando deverá ser positivo. Assim sendo, os valores encontrados na resolução da equação só serão considerados soluções da equação logarítmica proposta se forem valores que satisfaçamas condições de existência do logaritmo. Esquematicamente, temos:
Se 0 < a ≠ 1, então loga f ( x ) = loga g ( x ) ⇒ f ( x ) = g ( x ) > 0

Exemplos:
1) Resolver a equação log2 (3 x − 5) = log2 7.

13

14

2. Equações logarítmicas

2. Equações logarítmicas

Solução:
log2 ( 3 x − 5 ) = log2 7 ⇒ 3 x − 5 = 7 > 0

Exemplos:
2) Resolver a equação log3 (2 x − 3) = log3 (4 x − 5) .Resolvendo
3x − 5 = 7 ⇒ x = 4

x = 4 é solução da equação proposta e não há necessidade de verificarmos, pois 7 > 0 é satisfeita para todo x real.
S = {4}
15

16

2. Equações logarítmicas

2. Equações logarítmicas

Solução:
log3 ( 2 x − 3 ) = log3 (4 x − 5) ⇒ 2 x − 3 = 4 x − 5 > 0

Exemplos:
3) Resolver a equação log5 ( x 2 − 3 x − 10) = log5 (2 − 2 x ).

Resolvendo
2x − 3 = 4 x −5 ⇒ x = 1

x = 1 não é solução da equação proposta, pois fazendo x = 1 em 4x – 5 encontramos 4 . 1 – 5 = -1 < 0, logo a equação proposta não tem solução.
Chegaríamos à mesma conclusão se, em vez de fazer x = 1 em 4x – 5, o fizéssemos em 2x – 3, já que 2x – 3 = 4x – 5.
S =∅
17 18

2. Equações logarítmicas

2. Equações logarítmicas

Solução:

log5 x − 3 x − 10 = log5 (2 − 2x ) ⇒ x...
tracking img