exercícios derivadas parciais

Cálculo Diferencial e Integral III

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1. Derivadas Parciais de 1ª ordem
Segundo Gonçalves e Flemming, apresentamos as seguintes definições:

1.1. Definição
Dada a função
1ª ordem

f : A  Rn  R , f  f ( x1, x2 ,..., xn ) , temos n derivadas parciais de

f f
f
, em que
,
,...,
x1 x2
xn
f f ( x1  x1, x2 ,...xn )  f ( x1, x2 ,..., xn )
 lim
x1 x10
x1
f f ( x1, x2  x2 , x3...xn )  f ( x1, x2 ,..., xn )
 lim
x2 0
x2
x2
f
f ( x1, x2 ,...xn  xn )  f ( x1, x2 ,..., xn )
 lim
xn xn 0
xn

1.2. Derivadas parciais de f (x,y) no ponto (x0,y0)
Dada a função

f : A  R2  R de duas variáveis, z  f ( x, y) , e o ponto

( x0 , y0 )  A . y  y0 , consideramos a função g ( x)  f ( x, y0 ) . A derivada de g no ponto x  x0 , denominada derivada parcial de f em relação à x no ponto ( x0 , y0 ) , denotada por
f
f f ( x0  x, y0 )  f ( x0 , y0 ) f ( x , y0 )  f ( x0 , y0 )
,
( x0 , y0 ) , é definida por
( x0 , y0 )  lim
 lim
x0
xx0
x
x
x
x  x0 considerando x  x  x0 e y  y  y0 , se o limite existir.
Analogamente, a função derivada parcial de 1ª ordem de f em relação à y , é dada
f
f ( x0 , y0  y )  f ( x0 , y0 ) f ( x0 , y)  f ( x0 , y0 ) por , considerando ( x0 , y0 )  lim
 lim
y 0 y  y0
y
y y  y0
x  x  x0 e y  y  y0 , se o limite existir.
Fixado

Notações:

f
, Dx f ( x, y ) , f x ( x, y ) em relação à variável x ;
x
f
b.
, Dy f ( x, y ) , f y ( x, y ) em relação à variável y .
y
a.

UMC – Profa Marília Rocha

04_Derivadas Parciais

Reprodução não autorizada

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1.3. Função Derivada parcial de 1ª ordem f : A  R 2  R de duas variáveis, z  f ( x, y) , e o ponto
f
( x0 , y0 )  A . Seja B  A o conjunto formado por todos os pontos f ( x, y) tais que
( x, y )
x
existe. A função derivada parcial de 1ª ordem de f em relação a x é a função que a cada
f