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Tabela de derivadas

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Interpretação geométrica da derivada parcial

Nas funções de uma variável, a derivada mede a inclinação da reta tangente à curva no ponto dado. Nas funções do tipo f(x,y) de duas variáveis, a derivada em relação a x, mede a inclinação da reta tangente à superfície, no ponto dado (x0 ,y0,z0) e numa seção paralela ao eixo x, com y constante, e numa seçãoparalela a y e com x constante.
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A técnica de Derivadas Parciais

A derivada parcial em relação a "x" , considera y como constante,enquanto que a derivada parcial em relação na "y" considera x como constante.
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EX.5) Calcular a inclinação da tangente à interseção da superfície
z = x3 + y2 +2xy, com plano y = 1 no ponto (1,1,4).

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EX.6) Achar asderivadas parciais da função f(x,y) =( x2 + y3).senx

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Diferencial total de uma função de 2 ou mais variáveis

A condição para que uma função seja diferenciável é que suas derivadas parciais existam. Assim, dada a função z = f(x,y) , sua diferencial total é :

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Ex.1 diferenciar a função z = 3x3y2 – 2xy3 +xy –1

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A função de várias variáveis é diferenciável se suasderivadas parciais forem contínuas. A diferencial de uma função F(x1,x2,...xn) de n variáveis é:
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Ex.2-Calcule a diferencial da função F(x,y,z) =2x+3xy-2zy

Fx = 2+3y ; Fy = 3x-2z ; Fz = -2y

dF = (2+3y) dx +(3x-2z)dy –2ydz


Derivada de funções compostas

Seja a função f(x,y) onde por sua vez x = x(t) e y = y(t) . A derivada desta função em relação a “t” é
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Ex.1 Calcular aderivada da função F(x,y) = x2 + 3y –5 ,
onde x(t) = et e y(t) = t3 .
a) A função pode ser posta em função de t ,

F(x,y) = x2 + 3y –5, mas x(t)= et e y(t) = t3

F(t) = (et )2 + 3(t3 ) –5

F(t) = e2t +3t3 – 5

E a derivada dF/dt = 2 e2t + 9t2

b) Calcula-se pelas derivadas parciais

[pic]TEMOS: [pic] ASSIM:
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Se a função tiver mais de 2 variáveis, f(x1,x2,...xn), onde x1(t),x2(t),...xn(t) , são funções de t, então a sua derivada em relação a “t” é dada pela regra
da cadeia
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Ex.2– Dada a função f(x,y,z) = 2x+3y-2z , onde x=sent, y=et e z =t2

fx = 2 , fy = 3 , fx = -2 , dx/dt =cost ; dy/dt =et ; dz/dt = 2t

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Exercícios propostos: achar as derivadas df/dt

1) f(x,y,z) =x+x2y+3xyz , com x=sent ; y= cost e z= t3
2) f(x,y,z) =ex+y+z , com x=t2 ; y=t3 e z = t-1
3) f(x,y,z) =x2y+3yz2 , com x=1/ t ; y= 1/t2 e z =1/ t3



Derivadas parciais de segunda ordem

Se f é uma função de duas variáveis x e y, suas derivadas parciais são
fx =∂f /∂x e fy = ∂f /∂y . Se derivarmos essas derivadas mais uma vez, obteremos as derivadas parciais de segunda ordem, que são representadas por
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EXERCÍCIOS:

1) Calcular as derivadas de f(x,y) =e 2x+5y
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Note que fxy = fyx


2) Calcular as derivadas de f(x,y) = ln(x2+y2)
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Derivadas Parciais de Funções de Várias Variáveis

As derivadas parciais têm a mesma definição já vista para 2 variáveis
e são representadas da mesma forma.

Exemplos:
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Exercícios propostos - Derivar as funções:
1) f(x,y,z) = 2xy+2xz+3yz
2) f(x,y,z) = (x+ z)/(x- y)
3) f(x,y,z) =(xyz)(1/2)
4) f(x,y,z) = (x2+2y-3z)3
5) f(x,y,z,t) =ln(3x2+5y2-zt3)


Derivadas de Ordem Superior

Seja a função f de n variáveis x,y,z,...r,s,t . As suas derivadas de ordem superior são calculadas a partir de suas primeiras derivadas.

fx ,fy,...fr, fs, ft , ou seja fxx ,fxy,...fxt ; fyx,fyy,...,fys,fyt , etc.

Exercício:

Calcule as derivadas de ordem superior da função :
f(x,y,z) =ln(xy2z3). Lembrando que Ds lnu = us /u e Dsun =n.un-1.us
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Exercícios resolvidos.

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ALGO MAIS: A seguir apresentamos uma breve abordagem de Máximos e mínimos para funções de 2 ou + Variáveis

Máximos e mínimos para funções de duas variáveis

Uma importante aplicação do estudo de derivadas parciais, é a da otimização de funções....
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