Exercicios de geometria analitica (ga)

1 – (5,0 pontos) Determine a equação da circunferência determinada pelos pontos
(2,2), (3,4) e (5,3)
A equação reduzida da circunferência é da forma (x – xC)2 + (y – yC)2 = r2, precisamos determinar xC, yC e r.
Como A, B e C estão na circunferência, suas coordenadas devem satisfazer a equação, então:
1(2– xC)2 + (2 – yC)2 = r2 →xC2-4xC +yC2-4yC+8 = r22(3– xC)2 + (4 – yC)2 = r2→xC2-6xC +yC2-8yC+25 = r23(5– xC)2 + (3 – yC)2 = r2 →xC2-10xC +yC2-6yC+34 = r2
Fazendo (1) – (2), obtemos: 2xC + 4yC – 17 = 0 (4)
Fazendo (2) – (3), obtemos: 4xC – 2yC – 9 = 0 (5)
Resolvendo o sistema (4) e (5), vem xC = 72 e yC = 52.
Substituindo xC e yC por seus valores em (1), vem:
(2 – 72)2 + (2 – 52)2 = r2 → r2 = 52
A equação reduzida desta circunferência é:
(x-72)2+(y-52)2=52
Na forma geral, temos: x2 + y2 – 7x – 5y + 16 = 0.

2 – (5,0 pontos) Qual é a equação da reta que é tangente à circunferência representada pela equação (x-72)2+(y-52)2=52 e que passa no ponto (5,3)?
Chamando o ponto (5,3) de P, temos que P é ponto da circunferência, há somente uma tangente a circunferência por P, que é ponto de tangência.
Chamando o centro da circunferência de C (72, 52), a reta tangente de t.
A reta t, então, é a perpendicular a PC (raio), pelo ponto P.
Temos mPC = 3-525-72 = 13 e mt = –3.
Logo, t: y = –3x + n e, como t passa por P(5,3), temos:
3 = –3.5 + n → n = 18.
Daí, t: y = –3x + 18 isto é, t:3x + y – 18 =