Euclidiana

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Este documento se encontra dispon´ em: ıvel http : //hoowsblog.blogspot.com.br Compilado dia 07/10/2012.

diegoalvez.oliveira@yahoo.com.br Diego Oliveira. Livro: Geometria Euclidiana Plana (Jo˜o Lucas Marques Barbosa) a

EXERC´ ICIO PAGINA 7 1. Sobre uma reta marque quatro pontos A, B,C e D, em ordem, da esquerda para a direita. Determine: a) AB∪BC b) AB∩BC c) AC∩BD d) AB∩CD e) SAB ∩ SBC f)SAB ∩ SAD g) SCB ∩ SBC e) SAB ∪ SBC Solu¸˜o: ca a) AC b) B c) BC d) e) SBC f) SAB g) BC h) SAB

2. Quantos pontos comuns a pelo menos duas retas pode ter um conjunto de 3 retas no plano? E um conjunto de 4 retas do plano? Solu¸˜o: ca Vamos considerar primeiro o caso de 3 retas r1 , r2 e r3 que formar˜o os pontos Pij como na a tabela abaixo: • r1 r2 r3 r1 −− P21 P31 r2 P12 −− P32 r3 P13 P23 −−1

Agora contemos todos os pontos da tabela. A tabela possui trˆs linhas e trˆs colunas logo o numero de elementos ´ 3 · 3. e e e Os elementos das diagonais s˜o nulos (pois as retas n˜o podem se interceptar com ela mesma), a a assim o numero de elementos passa a ser 3 · 3 − 3 Como os elementos se repetem duas vezes na tabela (P12 = P21 e assim por diante), ent˜o a 3(3·−1) = . 2
n(n−1) 2(3·3−3) 2

Se tiv´ssemos n retas com racioc´ an´logo chegar´ e ınio a ıamos a formula de retas. Assim para n=3 temos 3 pontos e para n=4 temos 6 pontos.

onde n ´ o numero e

3. Prove o item (b) da proposi¸˜o (1.4). ca Solu¸˜o: ca Da defini¸˜o de Semi reta vem: ca SAB = {AB e x| B est´ entre A e X} a SBA = {BA e x | A est´ entre B e X } a de modo que se torna evidente que AB ∈ SAB ∩ SBA Agoraimagine um ponto D tal que d∈ SAB ∩ SBA e D∈ AB ent˜o pode ocorrer trˆs casos: / a e • A-B-D: (B est´ entre A e D), nesse caso D∈ SAB mas D notinSBA a • D-A-B: nesse caso D ∈ SAB mas D ∈ SAB / ou seja n˜o existe um ponto D ∈ AB e ∈ SAB ∩SBA , concluindo se assim que SAB ∩SBA = AB. a /

4. Prove a afirma¸˜o feita, no texto, de que existem infinitos pontos em um segmento. ca Solu¸˜o: ca Dado doispontos A e B distintos, existe um ponto P1 entre A e B (A-P1 -B). Usando o mesmo axioma provamos que existe um ponto P2 tal que A-P2 -D, aplicando tal proposi¸˜o infinitas vezes ca teremos ent˜o infinitos pontos. Isso demonstra o que desejamos, uma vez que se o houvesse um a ponto Pk chegar´ ıamos a um absurdo encontrando o ponto Pk+1 .

5. Sejam p = {a, b, c}, m1 = {a, b}, m2 = {a, c}, m3 = {b, c}.Chame P de plano e m1 , m2 e m3 de retas. Verifique que nesta “geometria” vale o axioma I2 . Solu¸˜o: ca

2

Basta observar que todas as combina¸˜es poss´ co ıveis entre os 3 pontos do plano P, tomados dois a dois pertence a uma das trˆs retas dessa geometria e

6. Os exemplos mais simples de conjuntos convexos s˜o o pr´prio plano e qualquer semi-plano. a o Mostre que a interse¸˜o de dois seiplanos ´ um convexo. ca e Solu¸˜o: ca Imagine os semi planos S1 , S2 e S3 tal que S3 = S1 ∩ S2 , tomando dois pontos P1 e P2 ambos pertencentes a S3 ent˜o: a P1 , P2 ∈ S1 , S2 Seja S1 e S2 convexos ent˜o P1 P2 ∈ S1 , S2 logo pertence a interse¸˜o, assim S3 tamb´m ´ a ca e e convexo.

7. mostre que a intercess˜o de n semi-planos ´ ainda um convexo. a e Solu¸˜o: ca Assim como j´ mostramos que aintercess˜o de dois semi planos ainda ´ um semi plano fica a a e evidente a generaliza¸˜o. ca

8. mostre, exibindo um contra exemplo, que a uni˜o de convexos pode n˜o ser um convexo. a a Solu¸˜o: Seja quatro figuras convexas (em preto), a uni˜o destas form˜o uma figura com ca a a uma cavidade (parte em branco).

9. Trˆs pontos n˜o colineares determinam trˆs retas. Quantas retas s˜o determinadas pore a e a quatro pontos sendo que quaisquer trˆs deles s˜o n˜o colineares? e a a Solu¸˜o: ca Analogamente ao exerc´ trˆs construiremos a seguinte tabela, onde rij ´ a reta determinada ıcio e e pelos pontos Pi e Pj . • P1 P2 P3 P1 – r21 r31 3 P2 r12 – r32 P3 r13 r23 –

o numero de retas ser´ a

3(3−1) 2

= 3 e para n pontos

n(n−1) . 2

10. Repita o exerc´ anterior para o caso de 6...
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