EQUAÇÕES DA RETA

EQUAÇÃO GERAL
Toda reta r do plano cartesiano pode ser expressa por uma equação do tipo: Em que: a, b, e c são números reais e a e b não são simultaneamente nulos.
Podemos obter a equação geral de uma reta r conhecendo dois pontos não coincidentes de r: Para isso, usa-se a condição de alinhamento de A e B com um ponto genérico P(x,y) de r.

EQUAÇÃO PARAMÉTRICA DA RETA
Definição: o sistema de equações é chamado sistemas de equações paramétricas da reta r, ou sistemas de reta r na forma paramétrica.
Sejam (0,i,j,k) um sistema de coordenadas, P(x,y,z) e A(x1, y1 ,z1) um ponto genérico e um ponto dado, respectivamente, da reta r, e v = ai + bj + ck um ventor de mesma direção de r.

Da equação vetorial da reta r:
P=A + tv, ou: (x,y,z) = (x1y2z3) + t (a, b, c) vem: x=x1 + at y=y1 + bt z=z1 = ct
As equações nas quais a, b e c não são todos nulos (v = 0), são denominadas equações paramétricas da reta r, em relação ao sistema de coordenadas fixado. A reta r é o conjunto de todos os pontos (x,y,z) determinados pelas equações paramétricas quando t varia de –∞ a +∞.
• Exemplo
As equações paramétricas da reta r, que passa pelo ponto A(3,-1,2) e é paralela ao vetor v=(-3,-2,1), são:
X=3 – 3t
Y=-1 -2t
Z=2 + t
Para se obter um ponto desta reta, basta atribuir a t um valor particular. Por exemplo, para t=3, tem-se:
X= -6
Y= -7
Z= 5
Isto é, o ponto (-6, -7, 5) é um ponto da reta r.

O ponto (-6, -7, 5) é um ponto da reta r. observe-se que o ponto A(3,-1,2) é obtido fazendo t=.ja o ponto (0,3,4) não pertence a esta ret. Pois as equações :

0=3-3t
3=-1-2t
4=2+t
Não são satisfeitas para o mesmo valor de t (t=1) satisfaz a primeira equação mas não as duas.

EQUAÇÃO SIMÉTRICA
Definição: o sistema de equações [fig.1] é chamado de sistema de equação da reta r na forma simétrica. x-x0 = y-y0= z-z0 a b c [fig.1]

Das equações paramétricas, supondo abc vem:

t= x – x1 A t = y- y1