Estudo de retas e do plano

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Geometria Analítica
Estudo da Reta e do Plano
Estudo da Reta
Nesta parte estudaremos as equações
da reta em várias formas usando
conhecimento de vetores, tais como: equações
vetoriais,
simétricas,
paramétricas,
e
reduzidas. Também estudaremos ângulos
entre duas retas e interseção das duas retas.
Em termos de condições apresentaremos as
condições de três pontos na mesma linha,
duasretas paralelas, ortogonalidade de duas
retas e coplanaridade de duas retas.

A equação (1) é a equação vetorial da
reta r passando pelo ponto A e paralelo ao vetor
v.
Observações





v é conhecido como o vetor diretor de r;
t é um parâmetro;
quando t vária de −∞ a +∞, P descreve a
reta r;
quando a reta é definida pelo dois pontos
A(x1, y1, z1) e B(x2, y2, z2), neste caso aequação da reta que passa pelo ponto A ou
B e tem a direção do vetor v = AB = (x2−
x1, y2− y1, z2− z1).

Equações da Reta

Exemplo. Determinar a equação vetorial da
reta r que passa pelo ponto A(3,−5,2) e tem a
direção do vetor v = (2,1,−4).

A seguir apresentamos equação reta
em várias formas.

Resolução. Seja P=(x,y,z) um ponto genérico
da reta r, então por (1) temos

Equaçõesvetoriais
Seja r uma reta que passa pelo ponto A
e é paralelo ao vetor v , v ≠ 0 . Para que um
ponto pertença à reta r, é necessário que os
vetores AP e v sejam colineares ou paralelos,
isto é,
AP = t v ,
onde t é um escalar, t ∈ℜ. Veja figura abaixo:

(x, y, z) = (3,−5,2) + t (2, 1,−4),
a qual é a equação da reta r.
Sabemos que quando t vária de −∞ a +∞, o
ponto P descreve a reta r.Escolhendo
arbitrariamente t = 2, obtemos
(x, y, z) = (3,−5,2) + 2 (2, 1,−4).
Após simplificação obtemos x = 7, y = −3 e
= −6.

z

Logo, o ponto P(7,−3,−6) é um ponto da reta r.
Observe que atribuímos o valor zero para t,
obtemos o ponto A, ou seja quando t=0, temos
(x,y,z) = (3,−5,2), o qual é o ponto A(3,−5,2).
Equações paramétricas

Podemos escrever
P − A = tv,
ou
(1)

Se P = (x,y, z), A = (x1, y1, z1) e v = (a,
b, c), então a equação vetorial de r dada na
expressão (1) pode ser rescrita da seguinte
forma

P = A + tv.
GEOMETRIA ANALITICA - Estudo de Reta e do Plano – José Francisco Faria (Lobinho)

1

(2)

Simplificando a expressão (2) temos as
seguintes equações:

(3)

z = − 7 − 11t

(x, y, z) = (x1, y1, z1) + t (a, b, c).

 x = x1 + ta

r : y = y1 + tb
 z = z + tc
1


As equações dadas em (3) são
conhecidas como equações paramétricas da
reta r.
Exemplo.
Determinar
as
equações
paramétricas da reta r, que passa pelo ponto
A(−5,2,−1) e é a paralela ao vetor v =
(1,3,−2).
Resolução.
Aplicando
as
equações
paramétricas da reta dada em (3), obtemos
x = −5 + t
y = 2 + 3t
z = − 1 − 2t
As equações dadas acima sãoequações
paramétricas desejadas. Atribuindo o valor
arbitrário ao t, por exemplo t = −2, temos as
coordenadas específicas do ponto P, isto é,
P(−7,−4,3). Observe que o ponto A(−5,2,−1) é
obtido fazendo t = 0.

também representam a mesma reta r, passando
pelo ponto B, com a direção do vetor AB .

Equações simétricas
Seja a.b.c ≠ 0. Da expressão (3)
podemos obter a seguinte expressão
(4)

Aexpressão (4) representa as equações
simétricas da reta r.
Observações








Exemplo. Determinar a equação da reta r
passando pelos pontos A(−3,1,4) e B(2,5,−7).
Resolução. A equação da reta r que passa
pelos pontos A e B é a equação obtida
passando pelo ponto A ou B com a direção do
vetor v = AB = (5,4,−11). Neste caso as
equações paramétricas da reta r são dadas por

x −x1 y − y1
z − z1
=
=
.
a
b
c

(5)

se a = 0, b ≠ 0 e c ≠ 0, então as equações
simétricas de r são
y − y1
z − z1
x = x1,
=
;
b
c
se b = 0, a ≠ 0 e c ≠ 0, então as equações
simétricas de r são
x − x1
z − z1
y = y1,
=
;
a
c
se c = 0, a ≠ 0 e b ≠ 0, então as equações
simétricas de r são
x − x1
y − y1
z = z1 ,
=
.
a
b
se a reta é determinada pelos pontos A(x1,...
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