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(a) Determine a equação vetorial e paramétrica de uma reta que passa pelo ponto ( - 2, 3, 1) e é paralela ao vetor v = < 1, - 3, 2 > .

(b) Determine outros dois pontos pertencentes à reta.

Solução

(a) Como ro = < - 2, 3, 1 > e v = < 1, - 3, 2 > , a equação vetorial se torna

r = < - 2, 3, 1 > + t < 1, - 3, 2 > ou r = < - 2 + t , 3 - 3 t , 1 + 2 t >.

Lembrando que i , j , k são os vetores unitários nas direções dos respectivos eixos coordenados x , y e z , isto é, i = < 1, 0, 0 >, j = < 0, 1, 0 > e k = < 0, 0, 1 >, podemos escrever a equação anterior como

r = ( - 2 + t ) i + (3 - 3 t ) j + (1+ 2 t ) k .

As equações paramétricas são dadas por x = - 2 + t ; y = 3 - 3 t e z = 1 + 2 t

(b) Variando o valor do parâmetro t , determinamos vários pontos sobre a reta L. Assim, para t = 1 temos x = - 1; y = 0 e z = 3. Desse modo, o ponto ( - 1, 0, 3) pertence à reta L. Da mesma forma, para t = - 1, temos que o ponto ( - 3, 6, - 1) pertence à L.

A equação vetorial e as equações paramétricas de uma reta não são únicas. Se considerarmos outro ponto [Maple Math] ou um vetor paralelo diferente (lembre-se de que qualquer múltiplo escalar do vetor v , também será paralelo à reta), obteremos uma outra equação para descrever a mesma reta L. Assim, se no Exemplo 1, tivessémos escolhido o ponto ( - 1, 0, 3), ao invés do ponto ( - 2, 3, 1) para obter a equação da reta L, as equações paramétricas seriam dadas por x = - 1 + t ; y = - 3 t e z = 3 + 2 t. Por outro lado, se tivessémos mantido o ponto ( - 2, 3, 1) mas escolhido o vetor v = < 2, - 6, 4 > , chegaríamos às equações x = - 2 + 2 t ; y = 3 - 6 t e z = 1 + 4 t.

Em geral, o vetor v , usado para descrever a direção da reta L, é chamado vetor diretor de L e os números a , b e c são as suas componentes. Como qualquer vetor paralelo a v pode ser usado para determinar à equação de L, quaisquer três números proporcionais a a , b e c podem ser usados como componentes do vetor diretor de L.

Equação da reta na