Geometria plana - reta

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Equações da Reta |

1. Equação Vetorial da Reta
Considere um ponto A(x1,y1,z1) e um vetor não-nulo v=(a,b,c). Só existe uma reta r que passa por A e tem a direção de v. Um ponto P(x,y,z) pertence a r se, e somente se, o vetor AP é paralelo a v.
AP=tv⇒P-A=tv⇒P=A+tv
Expresso através de coordenadas:
x,y,z=x1,y1,z1+t(a,b,c) Equação Vetorial de r.
Onde: v é chamado vetor diretor e t édenominado de parâmetro.

Exemplo: A reta r que passa por A(1,-1,4) e tem a direção de v=(2,3,2), tem a equação vetorial.
x,y,z=x1,y1,z1+ta,b,c⇒x,y,z=1,-1,4+t(2,3,2)
2. Equações Paramétricas da Reta
A equação paramétrica da reta gera a partir da equação vetorial de r.
x,y,z=x1,y1,z1+ta,b,c
x,y,z=(x1+at, y1+bt, z1+ct)
r: x1+aty1+btz1+ct (Equações paramétricas da reta)
Exemplos: A reta r quepassa pelo ponto A(3,-4,2) e é paralela ao vetor v=(2,1,-3). Determine a equação paramétrica da reta.
x,y,z=x1,y1,z1+ta,b,c⇒x,y,z=3,-4,2+t2,1,-3
r:x=3+2ty=-4+tz=2-3t
3. Reta definida por Dois Pontos.
A reta definida pelos pontos A e B é a reta que passa por A (ou B) e tem direção do vetor v=AB.
Exemplo: Escrever equações paramétricas da reta r que passa por A(3,-1,-2) e B(1,2,4).v=AB=B-A=(-2,3,6)
r:x=3-2ty=-1+3tz=-2+6t
4. Equações Paramétricas de um Segmento de Reta.
Consideremos a reta r do exemplo anterior e nela o segmento AB (origem A e extremidade B). Em que o ponto A(3,-1,-2) e B(1,2,4).

As equações paramétricas do segmento AB são as mesmas da reta r.
AB:x=3-2ty=-1+3tz=-2+6t
As equações paramétricas do segmento BA:
BA:x=1+2ty=2-3tz=4-6t
As equações dosegmento AB e BA com 0≤t≤1, são:
P=A+tB-A
P=B+t(A-B)
Onde P(x,y,z) representa um ponto qualquer do segmento.
5. Equações Simétricas da Reta
A partir das equações paramétricas da reta r: x1+aty1+btz1+ct, isolando os parâmetros e igualando-as temos:
t=x-x1a; t=y-y1b;t=z-z1c
x-x1a=y-y1b=z-z1c (Equações Simétricas da Reta)
Exemplo: a reta que passa pelo ponto A(3,0,-5) e tem a direção do vetorv=(2,2,-1), tem equações simétricas:
x-32=y2=z+5-1
Se desejarmos obter outros pontos da reta, basta atribuir um valor qualquer a uma das variáveis. Tipo x=5.
5-32=y2=z+5-1
Logo: y=2 e z=-6. Portanto, o ponto (5,2,-6) pertence à reta.

6. Equações Reduzidas da Reta.
As equações reduzidas da reta na variável x são definidas pelas formas:
y=mx+nz=px+q
Exemplo: Seja a reta r definida peloponto A(2,-4,-3) e pelo vetor diretor v=(1,2,-3) e expressa pelas equações simétricas x-21=y+42=z+3-3
A partir das equações simétricas vamos isolar y e z em função de x.
x-21=y+42⇒y=2x-8
x-21=z+3-3⇒z=-3x+3
Estas são as equações reduzidas da reta r, na variável x.

7. Retas Paralelas aos Planos Coordenados
Uma reta é paralela a um dos planos xOy, xOz ou yOz se seus vetores diretores foremparalelos ao correspondente plano. Neste caso, uma das componentes do vetor é nula.
A figura mostra a reta r (r/xOy) que passa pelo ponto A(-1,2,4) e tem vetor diretor v=(2,3,0) (a 3º componente é nula porque (v/xOy).

Um sistema de equações paramétricas de r é x=-1+2ty=2+3tz=4+0t
Observação:
Como todos os pontos de r são do tipo (x,y,4), isto é, são pontos de cota 4, todos eles distam 4unidades do plano xOy e por isso (r/xOy).

8. Retas Paralelas aos Eixos Coordenados
Uma reta é paralela a um dos eixos Ox, Oy ou Oz se seus vetores diretores forem paralelos a i=(1,0,0) ou a j=(0,1,0) ou a k=(0,0,1). Neste caso, duas das componentes do vetor são nulas.
Exemplo: Seja a reta r que passa por A(2,3,4) e tem a direção do vetor (0,0,3). Como a direção de v é a mesma de k, poisv=3k, a reta r é paralela ao eixo Oz.
x=2y=3z=4+3t
Observação: As retas que passam por A(x1,y1,z1) e são paralelas aos eixos Oy e Ox, respectivamente. Logo, suas equações são: x=x1z=z1 e y=y1z=z1, respectivamente.

Observação: Os eixos Ox, Oy e Oz são retas particulares. Todas passam pela origem O(0,0,0) e têm a direção de i, j ou k, respectivamente. Logo suas equações são:
y=0z=0 , x=0z=0...
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